Chứng minh định lí về số lượng ước số nguyên dương của n

Vì \[ n=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k}, \] nên mỗi ước nguyên dương \(d\) của \(n\) đều có dạng:

\[ d=p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}, \]

trong đó:

\[ 0\le x_1\le m_1,\quad 0\le x_2\le m_2,\quad \ldots,\quad 0\le x_k\le m_k. \]

Với thừa số nguyên tố \(p_1\), số mũ \(x_1\) có thể nhận một trong \(m_1+1\) giá trị là:

\[ 0,1,2,\ldots,m_1. \]

Tương tự, số mũ \(x_i\) có \(m_i+1\) cách lựa chọn, với \(i=1,2,\ldots,k\).

Theo quy tắc nhân, số cách chọn các số mũ \(x_1,x_2,\ldots,x_k\), cũng chính là số ước nguyên dương của \(n\), bằng:

\[ (m_1+1)(m_2+1)\cdots(m_k+1). \]

Vậy số ước số nguyên dương của \(n\) là:

\[ \boxed{(m_1+1)(m_2+1)\cdots(m_k+1)}. \]

Ta phân tích số \(720\) thành thừa số nguyên tố:

\[ 720=2^4\cdot3^2\cdot5. \]

Theo định lí về số lượng ước số, số ước nguyên dương của \(720\) là:

\[ (4+1)(2+1)(1+1)=5\cdot3\cdot2=30. \]

Vậy số \(720\) có \( \boxed{30} \) ước số nguyên dương.