Tóm tắt nội dung đề thi
Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 năm học 2025-2026 thuộc UBND phường Thành Vinh gồm 6 câu hỏi tự luận được phân bố theo thời gian làm bài 150 phút. Đề khảo sát toàn diện các kiến thức trọng tâm đại số và hình học THCS bao gồm: rút gọn biểu thức và bài toán số nguyên, phương trình - hệ phương trình, bài toán toán học thực tế và xác suất thống kê, cùng các bài toán hình học phẳng tổng hợp và tổ hợp hình học bất đẳng thức.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Câu 1 (2,5 điểm):
a) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức sau có giá trị nguyên:
\[A = \left(\frac{x-1}{3x-1} - \frac{1}{3x+1} - \frac{8x}{1-9x^2}\right) : \left(1 - \frac{3x-2}{3x+1}\right)\]với \(x \neq \pm \frac{1}{3}\).
b) Tìm các số nguyên tố \(p, q\) sao cho \(p^2 + 3pq + 4q^2\) là một số chính phương.
Câu 2 (3,5 điểm):
a) Cho hai số \(a, b\) phân biệt thỏa mãn \(a^3 + b^3 = a^2 b^2 (ab - 3)\). Tính giá trị của biểu thức \(M = a + b - ab\).
b) Cho đa thức \(P(x) = ax^2 + bx + c\) (với \(a, b, c \in \mathbb{N}^*\)) thỏa mãn \(P(8) - P(5) = 2025\). Chứng minh rằng \(P(12) - P(9)\) là một số lẻ.
Câu 3 (4,5 điểm):
a) Giải phương trình: \((x^2 + 1)^2 + 3x(x^2 + 1) + 2x^2 = 0\).
b) Tìm các cặp số \((x; y)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
\[\begin{cases} y^2 - xy + 1 = 0 \\ x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0 \end{cases}\]c) Hai bạn An và Bình đang so về số lượng những viên bi mà hai bạn hiện có. An nói với Bình rằng "Nếu bạn cho tôi một số viên bi từ túi của bạn thì tôi sẽ có số viên bi gấp 6 lần số viên bi còn lại của bạn. Còn nếu tôi cho bạn số viên bi như thế số viên bi của bạn sẽ bằng số viên bi còn lại của tôi". Hỏi số bi ít nhất mà bạn An có thể có là bao nhiêu?
Câu 4 (1,5 điểm):
Một hộp đựng 80 quả cầu (có khối lượng và kích thước như nhau). Trong đó có 50 quả cầu màu xanh được đánh số lần lượt từ 1 đến 50 và 30 quả cầu màu đỏ được đánh số lần lượt từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp. Tính xác suất của biến cố C: "Lấy được quả cầu mang số chia hết cho 6".
Câu 5 (7,0 điểm):
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\)), đường cao \(AH\). Kẻ \(HE \perp AC, HF \perp AB\) (\(E \in AC, F \in AB\)). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(EF\). Đường thẳng qua \(A\) song song với \(BI\) cắt \(BC\) tại \(K\).
a) Chứng minh rằng: \(BH = BK\) và \(BA^2 = BK \cdot BC\).
b) Chứng minh rằng: \(\frac{BF}{EC} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^3\).
c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(N\) là giao điểm của \(EF\) với \(BC\). Chứng minh rằng: \(I\) là trực tâm của tam giác \(AMN\).
Câu 6 (1,0 điểm):
Cho điểm \(K\) nằm trong hình lục giác đều cạnh \(1\text{ cm}\). Nối \(K\) với các đỉnh của hình lục giác đó. Chứng minh rằng trong sáu tam giác tạo thành luôn tồn tại hai tam giác có các cạnh không nhỏ hơn \(1\text{ cm}\).