ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ LỚP 9
Năm học: 2025 - 2026
Môn: Toán | Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Cho \(m\) là số nguyên dương. Chứng minh rằng biểu thức \(A = 2024m^3 + m\) luôn là một hợp số.
b) Chị Mai cần một khoản tiền để mua xe nên đã vay ở hai nguồn: ngân hàng và bạn bè. Nếu vay ngân hàng với lãi suất 1,2%/tháng và vay bạn bè với lãi suất 0,8%/tháng thì tổng tiền lãi hàng tháng chị phải trả là 540.000 đồng. Nếu chị vay ngân hàng với lãi suất 0,9%/tháng và vay bạn bè với lãi suất 0,5%/tháng thì tiền lãi hàng tháng chị trả là 390.000 đồng. Hỏi chị Mai đã vay ở mỗi nơi bao nhiêu tiền?
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình trên tập số thực: \[ (x + 1)^3 + (x + 2)^3 + (-3 - 2x)^3 = 0 \]
b) Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x^2 = (2 + y)(4 - 2y) \\ 2x^3 = (x + y)(4 - xy) \end{cases} \]
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Một con ếch đang ở vị trí trung tâm của một bảng ô vuông kích thước \(5 \times 5\) được tô xen kẽ hai màu đen và trắng. Mỗi bước, con ếch di chuyển sang một ô kề cạnh hoặc kề đỉnh với ô đang đứng. Tính xác suất để sau hai bước nhảy, con ếch dừng lại ở một ô màu đen.
b) Một doanh nghiệp sản xuất đĩa quang có chi phí sản xuất mỗi đĩa là 40 (nghìn đồng). Theo nghiên cứu thị trường, nếu mỗi đĩa bán với giá \(x\) (nghìn đồng, \(x \in \mathbb{N}^*\)) thì số lượng đĩa bán ra được xác định bởi công thức \(120 - x\). Hãy xác định mức giá bán \(x\) của mỗi đĩa để lợi nhuận thu về là lớn nhất?
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (với \(AB < AC\)) có đường cao \(AH\). Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên các cạnh \(AB\) và \(AC\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(BH\) và \(CH\). Đường thẳng \(DE\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(F\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(DE\).
a) Chứng minh rằng: \(AH^2 = BH \cdot CH\) và \(AD \cdot AB = AE \cdot AC\).
b) Gọi \(P\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh rằng: \(HF = HA \cdot \tan \widehat{OPF}\).
c) Giả sử độ dài đường cao \(AH\) không đổi; các đỉnh \(B\) và \(C\) thay đổi sao cho tam giác \(ABC\) luôn vuông tại \(A\) và \(AB < AC\). Chứng minh rằng trực tâm của tam giác \(AMN\) là một điểm cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)
Trên mặt bàn có 2026 tấm thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 2026. Hai bạn An và Bình chơi một trò chơi bằng cách lượt phiên nhau lấy một tấm thẻ cho đến khi không còn tấm thẻ nào trên bàn. Kết thúc trò chơi, mỗi người tính tổng các số ghi trên các tấm thẻ mình sở hữu; ai có tổng là số chẵn sẽ giành chiến thắng. Nếu An là người được đi trước, hỏi bạn nào có chiến thuật chắc chắn thắng và chiến thuật đó được thực hiện như thế nào?