Tóm tắt nội dung: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp cơ sở môn Toán 9 năm học 2025-2026 của UBND Xã Đô Lương bao gồm 5 bài tập tự luận với thời gian làm bài 120 phút. Nội dung bài thi bao quát các dạng toán trọng tâm: bài toán thực tế lập hệ/phương trình, số học về số chính phương, biến đổi đại số, giải phương trình và hệ phương trình, bài toán tối ưu doanh thu, tính xác suất thực nghiệm và bài toán hình học tổng hợp gồm 3 ý phân hóa.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ NĂM HỌC 2025-2026
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Bạn Bình vào cửa hàng mua bút và vở. Biết giá mỗi cái bút là 16 000 đồng giá mỗi quyển vở là 23 000 đồng . Bạn mua hết tổng cộng 376 000 đồng. Hỏi bạn Bình đã mua bao nhiêu cái bút và bao nhiêu quyển vở
b) Cho các số tự nhiên \(a; b; c; d\) thỏa mãn: \(a^2 = b^2 + c^2 + d^2\).
Chứng minh rằng: \(abcd + 2025\) viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
a) Bạn Bình vào cửa hàng mua bút và vở. Biết giá mỗi cái bút là 16 000 đồng giá mỗi quyển vở là 23 000 đồng . Bạn mua hết tổng cộng 376 000 đồng. Hỏi bạn Bình đã mua bao nhiêu cái bút và bao nhiêu quyển vở
b) Cho các số tự nhiên \(a; b; c; d\) thỏa mãn: \(a^2 = b^2 + c^2 + d^2\).
Chứng minh rằng: \(abcd + 2025\) viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Do hoạt động công nghiệp thiếu kiểm soát của con người mà nhiệt độ của trái đất tăng dần đáng lo ngại. Các nhà khoa học đã đưa ra công thức dự báo nhiệt độ trung bình trên bề mặt trái đất như sau: \(T = 0{,}02t + 15\) trong đó \(T(^\circ C)\) là nhiệt độ trung bình, \(t\) là số năm kể từ năm 1950. Hỏi năm 2025 nhiệt độ trung bình trên bề mặt trái đất là bao nhiêu ?
b) Cho \(a, b\) là hai số thực phân biệt thỏa mãn : \(a^2 + 3a = b^2 + 3b\). Tính \(T = a^3 + b^3 - 9ab\)
a) Do hoạt động công nghiệp thiếu kiểm soát của con người mà nhiệt độ của trái đất tăng dần đáng lo ngại. Các nhà khoa học đã đưa ra công thức dự báo nhiệt độ trung bình trên bề mặt trái đất như sau: \(T = 0{,}02t + 15\) trong đó \(T(^\circ C)\) là nhiệt độ trung bình, \(t\) là số năm kể từ năm 1950. Hỏi năm 2025 nhiệt độ trung bình trên bề mặt trái đất là bao nhiêu ?
b) Cho \(a, b\) là hai số thực phân biệt thỏa mãn : \(a^2 + 3a = b^2 + 3b\). Tính \(T = a^3 + b^3 - 9ab\)
Câu 3 (5,0 điểm).
a) Giải phương trình: \((x - 2025)^2 + 3(x - 2025) - 4 = 0\)
b) Giải hệ phương trình \(\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 5 \\ 4x^2y + 8xy^2 + 5x + 10y = 1 \end{cases}\)
c) Một rạp chiếu phim có sức chứa 1000 người. Với giá vé là 40 000 đồng/lượt thì có 300 người đến xem mỗi ngày. Để tăng số lượng vé bán ra rạp chiếu phim đã khảo sát thị trường và nhận thấy rằng nếu giá vé giảm 10 000 đồng/lượt thì có thêm 100 người đến rạp mỗi ngày. Hỏi rạp phải bán vé giá bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày là lớn nhất.
a) Giải phương trình: \((x - 2025)^2 + 3(x - 2025) - 4 = 0\)
b) Giải hệ phương trình \(\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 5 \\ 4x^2y + 8xy^2 + 5x + 10y = 1 \end{cases}\)
c) Một rạp chiếu phim có sức chứa 1000 người. Với giá vé là 40 000 đồng/lượt thì có 300 người đến xem mỗi ngày. Để tăng số lượng vé bán ra rạp chiếu phim đã khảo sát thị trường và nhận thấy rằng nếu giá vé giảm 10 000 đồng/lượt thì có thêm 100 người đến rạp mỗi ngày. Hỏi rạp phải bán vé giá bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày là lớn nhất.
Câu 4 (2,5 điểm).
Trong một hộp có 30 quả bóng xanh, 50 quả bóng đỏ và một số quả bóng vàng. Các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp thì xác suất lấy được quả bóng vàng là \(\frac{3}{11}\). Tính số quả bóng vàng
Trong một hộp có 30 quả bóng xanh, 50 quả bóng đỏ và một số quả bóng vàng. Các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp thì xác suất lấy được quả bóng vàng là \(\frac{3}{11}\). Tính số quả bóng vàng
Câu 5 (7,5 điểm).
Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC\)), gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), kẻ \(ME\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\), \(MF\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\). Đường thẳng qua \(C\) vuông góc với \(BC\) cắt \(ME\) tại \(P\), đường thẳng qua \(B\) vuông góc với \(BC\) cắt \(MF\) tại \(Q\), các đường thẳng \(AC\) và \(FM\) cắt nhau tại \(S\). Chứng minh rằng :
a) \(ME \cdot MP = MB^2\) và \(\triangle SEF \sim \triangle SMA\)
b) \(AM\) vuông góc với \(PQ\)
c) \(PQ\) đi qua trực tâm của tam giác \(ABC\)
Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC\)), gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), kẻ \(ME\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\), \(MF\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\). Đường thẳng qua \(C\) vuông góc với \(BC\) cắt \(ME\) tại \(P\), đường thẳng qua \(B\) vuông góc với \(BC\) cắt \(MF\) tại \(Q\), các đường thẳng \(AC\) và \(FM\) cắt nhau tại \(S\). Chứng minh rằng :
a) \(ME \cdot MP = MB^2\) và \(\triangle SEF \sim \triangle SMA\)
b) \(AM\) vuông góc với \(PQ\)
c) \(PQ\) đi qua trực tâm của tam giác \(ABC\)