Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống toàn bộ kiến thức trọng tâm về Góc giữa hai mặt phẳng và Góc nhị diện. Bao gồm định nghĩa, 4 phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng (dùng định nghĩa, giao tuyến, mặt phẳng vuông góc, công thức diện tích hình chiếu) và quy trình xác định góc nhị diện chuẩn xác.
1. Góc giữa hai mặt phẳng
a) Định nghĩa:
Cho hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\). Kẻ đường thẳng \(a \perp (P)\) và \(b \perp (Q)\). Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) chính là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\), ký hiệu là \(((P), (Q)) = (a, b)\).
- Với hai mặt phẳng bất kỳ: \(0^\circ \le ((P), (Q)) \le 90^\circ\).
- \(((P), (Q)) = 0^\circ \Leftrightarrow (P) \parallel (Q)\) hoặc \((P) \equiv (Q)\).
b) Các cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:
Cách 1 (Sử dụng định nghĩa): Từ một điểm \(O\) bất kỳ, dựng \(OE \perp (P)\) và \(OF \perp (Q)\). Khi đó \(((P), (Q)) = (OE, OF)\).
Cách 2 (Dùng mặt phẳng cắt nhau):
+ Bước 1: Tìm giao tuyến \(\Delta\) của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).
+ Bước 2: Từ điểm \(O \in \Delta\), trong \((P)\) kẻ \(d \perp \Delta\), trong \((Q)\) kẻ \(d' \perp \Delta\). Khi đó \(((P), (Q)) = (d, d') = \alpha\).
Cách 3 (Sử dụng mặt phẳng vuông góc):
+ Bước 1: Tìm mặt phẳng \((R)\) vuông góc với cả \((P)\) và \((Q)\).
+ Bước 2: Xác định các giao tuyến \((R) \cap (P) = d\) và \((R) \cap (Q) = \Delta\).
+ Bước 3: Khi đó \(((P), (Q)) = (d, \Delta)\).
Cách 4 (Sử dụng diện tích hình chiếu):
Gọi \(S\) là diện tích đa giác \(\mathcal{H}\) thuộc \((P)\) và \(S'\) là diện tích hình chiếu \(\mathcal{H}'\) của \(\mathcal{H}\) trên \((Q)\). Góc \(\varphi\) giữa \((P)\) và \((Q)\) tính theo công thức:
\[S' = S \cdot \cos\varphi \Rightarrow \cos\varphi = \frac{S'}{S}\]2. Góc nhị diện
a) Định nghĩa:
Hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) có chung bờ là đường thẳng \(a\) được gọi là một góc nhị diện, ký hiệu \([P, a, Q]\). Đường thẳng \(a\) gọi là cạnh, hai nửa mặt phẳng gọi là hai mặt của góc nhị diện.
- Số đo góc nhị diện thỏa mãn: \(0^\circ \le [P, a, Q] \le 180^\circ\).
- Nếu \(M \in (P)\) và \(N \in (Q)\) thì góc nhị diện còn được ký hiệu là \([M, a, N]\).
b) Cách xác định góc nhị diện \([P, a, Q]\):
+ Bước 1: Từ một điểm \(O\) bất kỳ trên đường thẳng \(a\), vẽ tia \(OA \perp a\) (với \(OA \subset (P)\)) và tia \(OB \perp a\) (với \(OB \subset (Q)\)). Khi đó \([P, a, Q] = \widehat{AOB}\).
+ Bước 2: Tính số đo góc \(\widehat{AOB}\).