TÓM TẮT NỘI DUNG ĐỀ THI
Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 TP.HCM năm học 2025 - 2026 cấu trúc gồm 5 câu hỏi tự luận với các chủ đề trọng tâm:
- Câu 1: Rút gọn biểu thức đại số chứa căn và giải bài toán thực tế về tỷ lệ phần trăm diện tích.
- Câu 2: Ứng dụng định lý Viète cho phương trình bậc hai và bài toán tối ưu chi phí thực tế.
- Câu 3: Hình học phẳng tổng hợp (đường tròn nội tiếp, tứ giác nội tiếp, đường cao và quan hệ song song).
- Câu 4: Phương trình nghiệm nguyên chứa tham số số nguyên tố.
- Câu 5: Bài toán đấu vòng tròn tổ hợp và tính xác suất phương trình có nghiệm nguyên.
Câu 1: Đại số và Bài toán thực tế (4.0 điểm)
1. Cho hai số thực dương \(a, b\) thỏa mãn điều kiện \((1+a)(1+b) = 2026\). Tính giá trị của biểu thức đại số:
\[M = \frac{\sqrt{(2025+a^2)(2025+b^2)}}{a+b}\]2. Tính diện tích ban đầu của một khu đất có diện tích biến động theo thời gian. Biết rằng trung bình mỗi tháng diện tích giảm đi \(10\%\) so với tháng trước đó và suy giảm thêm \(3\text{ m}^2\). Sau thời gian 2 tháng, diện tích đo đạc còn lại đúng \(51\text{ m}^2\).
Câu 2: Phương trình bậc hai và Bài toán tối ưu (4.0 điểm)
1. Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai \(x^2 - 3x - 1 = 0\). Không thực hiện giải phương trình, hãy tìm giá trị chính xác của biểu thức:
\[A = x_1^2 - 2x_2^2 - 7x_1 x_2 + x_1 + 10x_2\]2. Ba bạn Ngọc, An và Thái cùng mua kẹo gồm 3 loại A, B, C tại một cửa hàng:
- Ngọc mua 3 viên loại A, 9 viên loại B, 6 viên loại C hết tổng cộng 48.000 đồng.
- An mua 4 viên loại A, 4 viên loại B, 16 viên loại C hết tổng cộng 72.000 đồng.
a) Nếu Thái mua 4 viên loại A, 17 viên loại B và 3 viên loại C thì tổng số tiền Thái phải trả là bao nhiêu?
b) Một khách hàng khác mua tổng số 96 viên kẹo gồm cả 3 loại A, B, C với tổng hóa đơn là 248.000 đồng. Biết số kẹo loại A mua không quá 15 viên và số kẹo loại C không ít hơn \(\frac{1}{8}\) bình phương số kẹo loại A. Xác định đơn giá cao nhất có thể có của một viên kẹo loại B.
Câu 3: Hình học phẳng (6.0 điểm)
1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 4\), \(AC = 3\) và nội tiếp đường tròn tâm \(I\), bán kính \(r\). Gọi \(E, F, G\) lần lượt là các tiếp điểm của \((I)\) với các cạnh \(AC, AB, BC\). Trên đoạn \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AE = CD\). Đường thẳng \(DI\) cắt \(AB\) tại \(M\). Đường trung trực của \(CD\) cắt \(AC\) tại \(N\) và cắt \(BD\) tại \(K\). Qua \(N\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(DM\) tại \(H\). Hãy tính:
- Bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp.
- Độ dài đoạn thẳng \(AM\).
- Số đo góc \(\widehat{CHK}\).
2. Cho tam giác \(ABC\) nhọn (với \(AB < AC\)) có các đường cao \(AD, BE, CF\) đồng quy tại trực tâm \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Dựng \(HJ \perp AM\) tại \(J\).
a) Chứng minh tứ giác \(BHJC\) là tứ giác nội tiếp.
b) Kẻ \(HG \perp EF\) tại \(G\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(EF\). Chứng minh hai đường thẳng \(AI\) và \(DG\) song song với nhau.
Câu 4: Số học (2.0 điểm)
Tìm số nguyên tố \(p\) lớn nhất sao cho phương trình sau có ít nhất một cặp nghiệm nguyên dương \((x, y)\):
\[x^3 + y^3 - 3xy = p - 1\]Câu 5: Tổ hợp và Xác suất (4.0 điểm)
1. Giải bóng đá có \(n\) đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận). Thắng được 2 điểm, hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm. Khi giải đấu kết thúc, thống kê cho thấy có \(n-5\) đội có cùng số điểm và 5 đội còn lại có tổng số điểm là 27. Tìm số đội \(n\) tham gia giải đấu.
2. Cho tập hợp các số nguyên dương \(S = \{x \in \mathbb{N}^* \mid 1 \le x \le 18\}\). Chọn ngẫu nhiên bộ 3 số \((a, b, c)\) từ tập \(S\) (các số có thể lặp lại) để tạo thành phương trình bậc hai \(ax^2 + x(b+ac) + bc = 0\). Tính xác suất để phương trình nhận \(x = -3\) làm một nghiệm.