Câu 1 (3,5 điểm)
1) Cho biểu thức \(P = \left(\frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} + \frac{8x}{4-x}\right) : \left(\frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)\) (điều kiện \(x > 0, x \neq 4\)). Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho bất phương trình \(m(\sqrt{x}-3)P > x + 1\) nghiệm đúng với mọi \(x > 9\).
2) Cho parabol \((P): y = x^2\) và đường thẳng \((d): y = mx + 1\) (với \(m\) là tham số).
a) Chứng minh rằng đường thẳng \((d)\) luôn cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) với mọi giá trị của \(m\).
b) Kí hiệu \(x_1, x_2\) lần lượt là hoành độ của hai điểm \(A\) và \(B\). Chứng minh rằng \(|x_1 - x_2| \ge 2\).
Câu 2 (3,5 điểm)
1) Giải phương trình trên tập số thực: \[\sqrt{2x^2+3x+5} + \sqrt{2x^2-3x+5} = 3x\]
2) Giải hệ phương trình: \[\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2 - \frac{1}{y}} = 2 \\ \frac{1}{\sqrt{y}} + \sqrt{2 - \frac{1}{x}} = 2 \end{cases}\]
Câu 3 (1,5 điểm)
Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số.
1) Xác định số phần tử của tập hợp \(A\) bao gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra đối với số tự nhiên được viết ra.
2) Tính xác suất của biến cố: "Số tự nhiên được chọn là số chia cho 9 dư 1".
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho điểm \(O\) nằm bên trong tam giác \(ABC\). Các tia \(AO, BO, CO\) lần lượt cắt các cạnh \(BC, CA, AB\) tại các điểm \(D, E, F\). Chứng minh rằng:
1) \(\frac{OA}{AD} + \frac{OB}{BE} + \frac{OC}{CF} = 2\)
2) \(\frac{OA}{OD} \cdot \frac{OB}{OE} \cdot \frac{OC}{OF} \ge 8\)
Câu 5 (3,5 điểm)
Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \((O; R)\). Qua \(A\) kẻ hai tiếp tuyến \(AB, AC\) tới đường tròn \((O)\) (với \(B, C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của đoạn thẳng \(AO\) và đoạn thẳng \(BC\)...