Tài liệu giới thiệu đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố tại TP. Hồ Chí Minh năm học 2024-2025. Nội dung đề thi tập trung vào các dạng bài toán ứng dụng cấp số cộng, quy luật phóng xạ, bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc ba và ứng dụng tích phân trong bài toán thiết kế thực tế.
TRÍCH DẪN ĐỀ THI
Bài 1: (4 điểm)
1. Cho biết chu kỳ bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni 210 là \(138\) ngày, nghĩa là sau mỗi chu kỳ \(138\) ngày thì khối lượng của mẫu vật Poloni 210 chỉ còn lại một nửa.
a) Tính khối lượng còn lại của \(64\text{ gam}\) Poloni 210 sau \(552\) ngày.
b) Hỏi sau bao nhiêu ngày thì \(64\text{ gam}\) Poloni 210 còn lại \(1\text{ gam}\)?
2. Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm thành các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài của các thanh ngang để làm cái thang đó (tính từ bậc dưới cùng lên) lần lượt là \(49\text{ cm}, 47\text{ cm}, 45\text{ cm}, \dots, 35\text{ cm}, 33\text{ cm}\) (mỗi thanh ngang ngắn hơn \(2\text{ cm}\) so với thanh ngang bậc dưới liền kề).
a) Hỏi cái thang đó có bao nhiêu thanh ngang?
b) Hỏi thanh gỗ cần mua có chiều dài ít nhất là bao nhiêu cm? Biết rằng mỗi lần cắt thanh gỗ thì phần gỗ bị cắt (thành mùn cưa) dài \(0,5\text{ cm}\).
1. Cho biết chu kỳ bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni 210 là \(138\) ngày, nghĩa là sau mỗi chu kỳ \(138\) ngày thì khối lượng của mẫu vật Poloni 210 chỉ còn lại một nửa.
a) Tính khối lượng còn lại của \(64\text{ gam}\) Poloni 210 sau \(552\) ngày.
b) Hỏi sau bao nhiêu ngày thì \(64\text{ gam}\) Poloni 210 còn lại \(1\text{ gam}\)?
2. Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm thành các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài của các thanh ngang để làm cái thang đó (tính từ bậc dưới cùng lên) lần lượt là \(49\text{ cm}, 47\text{ cm}, 45\text{ cm}, \dots, 35\text{ cm}, 33\text{ cm}\) (mỗi thanh ngang ngắn hơn \(2\text{ cm}\) so với thanh ngang bậc dưới liền kề).
a) Hỏi cái thang đó có bao nhiêu thanh ngang?
b) Hỏi thanh gỗ cần mua có chiều dài ít nhất là bao nhiêu cm? Biết rằng mỗi lần cắt thanh gỗ thì phần gỗ bị cắt (thành mùn cưa) dài \(0,5\text{ cm}\).
Bài 2: (4 điểm)
Cho hàm số \(y = x^3 - 3x\) có đồ thị \((C)\). Tìm tất cả các điểm \(A\) thuộc \((C)\) sao cho tiếp tuyến của \((C)\) tại \(A\) cắt trục hoành và \((C)\) lần lượt tại 2 điểm phân biệt \(M, N\) (với \(N \neq A\)) thỏa mãn \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).
Cho hàm số \(y = x^3 - 3x\) có đồ thị \((C)\). Tìm tất cả các điểm \(A\) thuộc \((C)\) sao cho tiếp tuyến của \((C)\) tại \(A\) cắt trục hoành và \((C)\) lần lượt tại 2 điểm phân biệt \(M, N\) (với \(N \neq A\)) thỏa mãn \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).
Bài 3: (3 điểm)
Một công ty thiết kế tròng kính sao cho mỗi phần đường viền của tròng kính là một phần đồ thị của hàm số bậc hai hoặc một phần đồ thị của hàm số bậc bốn rồi ghép chúng lại với nhau (sau đó họ sẽ điều chỉnh theo tỷ lệ phù hợp). Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\), biết rằng \(A(-2;0), B(0;-4), C(7;0)\) và \(D(1;k)\) với \(k > 0\).
Cho biết đường cong \((C_1)\) đi qua các điểm \(A, D, C\) là một phần của đồ thị hàm số bậc hai nào đó, đường cong \((C_2)\) ứng với đường viền nối \(A\) với \(B\) là một phần của đồ thị hàm số \(y = bx^2 + c\), còn đường cong \((C_3)\) ứng với đường viền nối \(B\) với \(C\) là một phần của đồ thị hàm số \(y = mx^4 + n\). Tính \(k\) biết diện tích tròng kính đó bằng \(33,44\) (đơn vị diện tích).
Một công ty thiết kế tròng kính sao cho mỗi phần đường viền của tròng kính là một phần đồ thị của hàm số bậc hai hoặc một phần đồ thị của hàm số bậc bốn rồi ghép chúng lại với nhau (sau đó họ sẽ điều chỉnh theo tỷ lệ phù hợp). Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\), biết rằng \(A(-2;0), B(0;-4), C(7;0)\) và \(D(1;k)\) với \(k > 0\).
Cho biết đường cong \((C_1)\) đi qua các điểm \(A, D, C\) là một phần của đồ thị hàm số bậc hai nào đó, đường cong \((C_2)\) ứng với đường viền nối \(A\) với \(B\) là một phần của đồ thị hàm số \(y = bx^2 + c\), còn đường cong \((C_3)\) ứng với đường viền nối \(B\) với \(C\) là một phần của đồ thị hàm số \(y = mx^4 + n\). Tính \(k\) biết diện tích tròng kính đó bằng \(33,44\) (đơn vị diện tích).