Tóm tắt nội dung đề thi (Trang 1)
Nội dung trang 1 thuộc Kỳ thi chọn Học sinh giỏi cấp tỉnh THPT môn Toán (Bảng A) năm học 2025 - 2026 của Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai. Phần này bao gồm 3 câu hỏi tự luận đầu tiên với tổng điểm là 10,0 điểm:
- Câu 1 (4,0 điểm): Ứng dụng đạo hàm tính độ dài đoạn thẳng đối xứng qua đường thẳng và giải bài toán tối ưu tốc độ tăng trưởng thực tế.
- Câu 2 (4,0 điểm): Tính chất chia hết của tích các hiệu số nguyên trong tập hợp và tìm đa thức thỏa mãn phương trình hàm đa thức.
- Câu 3 (2,0 điểm): Chứng minh dãy số giảm và tính giới hạn của tổng dãy số.
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Cho hàm số \( y = \frac{x^2}{x - 1} \) có đồ thị ký hiệu là \( (C) \). Gọi \( A \) và \( B \) là hai điểm phân biệt thuộc \( (C) \) sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng \( d: y = x - 1 \). Tính độ dài của đoạn thẳng \( AB \).
b) Cân nặng trung bình của một bé trai từ 0 đến 36 tháng tuổi được ước lượng qua hàm số: \[ w(t) = 0{,}000341t^3 - 0{,}0268t^2 + 0{,}819t + 3{,}67 \] trong đó \( t \) là thời gian (tính theo tháng) và \( w \) là khối lượng (tính theo kg). Tốc độ thay đổi cân nặng tại thời điểm \( t \) được xác định bằng đạo hàm \( w'(t) \). Cho biết tại thời điểm nào thì tốc độ biến thiên cân nặng của bé trai đạt giá trị nhỏ nhất?
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Với mỗi số nguyên dương \( n \) thỏa mãn \( 2 \le n \le 28 \), xét tập hợp \( S_n = \{x^2 + 2026 \mid x = 1, 2, \dots, n\} \) và tích: \[ T_n = \prod_{\substack{a,b \in S_n \\ a > b}} (a - b) \] Hãy xác định giá trị \( n \) nhỏ nhất sao cho \( T_n \) chia hết cho 29.
b) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực \( P(x) \) thỏa mãn đẳng thức: \[ (x^2 - 6x + 8) P(x) = (x^2 + 2x) P(x - 2), \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho dãy số thực \( (a_n) \) được xác định bởi công thức: \( a_1 = \frac{1}{2} \) và \( a_{n+1} = \frac{a_n^2}{a_n^2 - a_n + 1} \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \).
a) Chứng minh rằng \( (a_n) \) là một dãy số giảm.
b) Với mỗi số nguyên dương \( n \), đặt \( b_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n \). Hãy tính giới hạn \( \lim_{n \to +\infty} b_n \).