ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Bài I.
1) Cho biểu thức:
\[ P = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \frac{x-\sqrt{x}-1}{x-3\sqrt{x}} \right) : \left( \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} - \frac{x-\sqrt{x}-10}{x-2\sqrt{x}-3} \right) \]
với \( x > 0; x \neq 9 \). Chứng minh rằng \( P = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \) và tìm tất cả các giá trị của \( x \) để \( \frac{3}{P} \) nhận giá trị nguyên.
2) Với các số thực \( a, b, c \) đôi một khác nhau thỏa mãn \( a^2 + 2b = b^2 + 2c = c^2 + 2a \). Tính giá trị của biểu thức \( Q = (a+b)(b+c)(c+a) \).
Bài II.
1. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện trên 2 mặt con xúc xắc trong hai lần gieo lớn hơn 7".
2. Với \( a, b, c \) là các số nguyên thỏa mãn: \( a^2 + bc \), \( b^2 + ca \), \( c^2 + ab \) đều chia hết cho 3. Chứng minh rằng \( abc \) chia hết cho 27.
Bài III.
Với \( a, b, c \) là các số thực không âm sao cho \( a + b + c = 3 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[ P = \frac{a}{3a+3b+c^2} + \frac{b}{3b+3c+a^2} + \frac{c}{3c+3a+b^2} \]
Bài IV.
Cho tam giác \( ABC \) (với \( AB < AC \)) có \( \widehat{BAC} = 45^\circ \) nội tiếp đường tròn \( (O) \), các đường cao \( BE, CF \) cắt nhau tại \( H \).
1. Chứng minh: \( OEHF \) là hình bình hành và \( OA = EF \).
2. Gọi \( M, N \) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \( BC \) với các đường thẳng \( OF, OE \). Chứng minh rằng: \( \widehat{MAN} = 90^\circ \).
3. Đường thẳng \( OM \) cắt đường thẳng \( AN \) tại \( P \), đường thẳng \( ON \) cắt đường thẳng \( AM \) tại \( Q \). Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( PQ \). Chứng minh: \( OI \) vuông góc với \( BC \).
Bài V.
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên \( (x, y) \) sao cho: \( x^4 - x^3 + x = 8y^3 - 12y^2 + 6y \).
2. Cho bảng ô vuông kích thước \( 5 \times 6 \). Ta tiến hành điền vào mỗi ô vuông \( 1 \times 1 \) của bảng đúng một số thuộc tập hợp \( A = \{1; 2; 3; \dots; n\} \) sao cho mỗi số được điền ít nhất một lần, đồng thời trong mỗi ô vuông \( 2 \times 2 \) của bảng có ít nhất hai số giống nhau được điền.
a. Chỉ ra một cách điền số thỏa mãn với \( n = 18 \).
b. Tìm giá trị lớn nhất của \( n \) để có một cách điền số thỏa mãn yêu cầu bài toán.