Tài liệu tổng hợp nội dung Phần I - Ghi kết quả gồm 12 câu hỏi bài tập tự luận đáp số ngắn trong Kỳ thi chọn Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm học 2025 - 2026 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh.
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (6.0 điểm)
Câu 1. Thực hiện rút gọn giá trị của biểu thức: \[P = \frac{\sqrt{7+\sqrt{5}} + \sqrt{7-\sqrt{5}}}{\sqrt{7+2\sqrt{11}}} - \sqrt{3-2\sqrt{2}}\]
Câu 2. Cho hai số thực dương \(a, b\) thỏa mãn các điều kiện: \(a^2 + ab - 6b^2 = 0\), \(3a - 4b \neq 0\) và \(a - 4b \neq 0\). Hãy xác định giá trị biểu thức: \[F = \frac{2025a + 2b}{3a - 4b} + \frac{2026a - 2b}{4b - a}\]
Câu 3. Cho hai đường thẳng \((d_1): y = (m + 3)x + m + 2\) và \((d_2): y = (m^3 - 3m + 3)x + 3m - 2\). Ký hiệu \(Q\) là tổng tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để \((d_1)\) song song với \((d_2)\). Tính giá trị \(Q\).
Câu 4. Cho các đa thức \(f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b\), \(g(x) = x^2 - 5x + 6\) và \(h(x) = 2x - 3\). Biết phép chia \(f(x)\) cho \(g(x)\) nhận được số dư là \(h(x)\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a + 2b\).
Câu 5. Xác định toàn bộ các cặp số nguyên dương \((x; y)\) thỏa mãn phương trình: \[2(x^2 + y^2) - 5(x + y) = 0\]
Câu 6. Tìm tất cả số nguyên tố \(p\) sao cho biểu thức \(13p + 1\) bằng lập phương của một số tự nhiên.
Câu 7. Tiến hành gieo hai con xúc xắc đồng chất và cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm hiển thị ở mặt trên hai con xúc xắc là một số chính phương.
Câu 8. Trên cùng một con phố có hai cửa hàng sách X và Y. Ba bạn An, Bình, Cường mỗi người ngẫu nhiên bước vào một nhà sách. Tính xác suất diễn ra biến cố: "Có đúng hai bạn chọn vào nhà sách X, bạn còn lại chọn vào nhà sách Y".
Câu 9. Hai anh em Hùng và Lan để dành tiền tiết kiệm mua đồ dùng học tập quyên góp ủng hộ bạn học khó khăn. Trong tháng 10, tổng số tiền tích lũy của hai anh em là \(900\,000\) đồng. Qua tháng 11, số tiền tiết kiệm của Hùng tăng \(20\%\) và Lan tăng \(30\%\) so với tháng 10, dẫn đến tổng số tiền tiết kiệm tháng 11 của hai người đạt \(1\,130\,000\) đồng. Hỏi trong tháng 11 Lan đã tiết kiệm được bao nhiêu tiền?
Câu 10. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại đỉnh \(A\), có đường cao \(AH\) (với \(H \in BC\)). Biết \(AB = \sqrt{21}\text{ cm}\) và \(HC = 4\text{ cm}\). Hãy tính độ dài cạnh \(AC\).
Câu 11. Một hình lăng trụ đứng có mặt đáy là tam giác đều, chiều cao bằng \(4\text{ cm}\) và thể tích khối lăng trụ bằng \(9\sqrt{3}\text{ cm}^3\). Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đó.
Câu 12. Một đồ vật trang trí được kết hợp từ hai hình chóp tứ giác đều \(M.ABCD\) và \(N.ABCD\) chung đáy \(ABCD\). Biết thể tích khối chóp \(M.ABCD\) bằng 2 lần thể tích khối chóp \(N.ABCD\), độ dài cạnh đáy \(ABCD\) bằng \(2\text{ dm}\), độ dài cạnh bên khối chóp \(N.ABCD\) bằng \(\sqrt{6}\text{ dm}\). Tính độ dài cạnh bên của khối chóp \(M.ABCD\).