Đề thi Học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm học 2025-2026 - Sở GD&ĐT Quảng Trị
Tài liệu bao gồm các câu hỏi thuộc phần Đại số (rút gọn biểu thức, cực trị, toán thực tế lập phương trình/hệ phương trình, giải hệ phương trình phi tuyến) và Tổ hợp - Xác suất (tính xác suất biến cố, bài toán đường đi trên lưới ô vuông).
Câu 1 (4,0 điểm)
1. Cho biểu thức \( M = \frac{a\sqrt{a} + 19\sqrt{a} - 14}{a + \sqrt{a} - 2} + \frac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a} + 2} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \).
a) Rút gọn biểu thức \( M \).
b) Tìm \( a \) để \( M \) đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Cho \( f(x) = \frac{1}{1 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{9}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4x + 5}} \) với \( x \in \mathbb{N} \).
Chứng minh \( f(505) \) là một số nguyên.
Câu 2 (4,0 điểm)
1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, người ta cắt bỏ bốn hình vuông có độ dài cạnh \( 6\,\text{cm} \) ở bốn góc, sau đó gập thành một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp và có thể tích bằng \( 480\,\text{cm}^3 \). Tính độ dài các cạnh của tấm tôn hình chữ nhật ban đầu.
2. Một nhóm có 16 người (bao gồm đàn ông, đàn bà và trẻ em) đi nghỉ mát ở bãi biển Nhật Lệ. Họ chia nhau mang theo \( 19\,\text{kg} \) vật dụng và lương thực. Mỗi người đàn ông mang theo \( 3\,\text{kg} \), mỗi nhóm hai người đàn bà mang theo \( 1\,\text{kg} \), mỗi nhóm ba trẻ em mang theo \( 1\,\text{kg} \). Tính số người đàn ông, số người đàn bà và số trẻ em trong nhóm đó.
3. Giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases} 1 + 2y + 2xy = 2y\sqrt{x^2 + 2y + 1} \\ 1 + x = 2y^2 \end{cases} \]Câu 3 (3,0 điểm)
1. Một hộp chứa 6 thẻ được ghi số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố E: “Trong ba thẻ lấy ra thì có một thẻ có số ghi trên đó bằng tổng hai số ghi trên hai thẻ còn lại”.
2. Một con kiến di chuyển một cách ngẫu nhiên theo các đường kẻ từ A đến C (như hình vẽ). Khi tới các ngã rẽ, con kiến luôn di chuyển sang phải hoặc di chuyển lên trên. Tính xác suất để trên đường đi từ A đến C, con kiến phải di chuyển qua điểm B.