Bài 1 (5,0 điểm)
1) Tìm số tự nhiên \(a\) sao cho cả \(a + 18\) và \(a - 41\) đều là các số chính phương.
2) Xác định số tự nhiên \(n\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: \(288\) chia cho \(n\) dư \(38\) và \(414\) chia cho \(n\) dư \(14\).
3) Một chiếc hộp chứa \(50\) viên bi có cùng hình dáng và khối lượng, trong đó gồm \(20\) viên bi đỏ, \(15\) viên bi xanh và số bi còn lại có màu vàng. Bạn Thịnh lấy ngẫu nhiên một viên bi ra kiểm tra rồi trả lại vào hộp.
a) Tính xác suất để bạn Thịnh rút được viên bi màu vàng.
b) Nếu người ta bỏ thêm \(x\) viên bi màu xanh vào hộp thì xác suất để lấy được viên bi màu vàng giảm xuống còn \(\frac{1}{4}\). Hãy tìm giá trị của \(x\).
Bài 2 (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức: \[ A = \left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} + \frac{1}{1-\sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x}-1}{2} \quad \text{với } x \ge 0, x \neq 1 \]
a) Rút gọn biểu thức \(A\).
b) So sánh hai giá trị \(A^2\) và \(2A\).
2) Cho các số thực \(x \ge 3\) và \(y \ge 0\) thỏa mãn đẳng thức: \[ y^2\sqrt{x-3} + \sqrt{x-3} = y \]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 1 + x + x^2\).
Bài 3 (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: \[ \sqrt{x+1} + \sqrt{4-x} + \sqrt{(x+1)(4-x)} = 5 \]
2) Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y + xy = -7 \\ x^2 + y^2 - 3x - 3y = 16 \end{cases} \]
Bài 4 (6,0 điểm)
1) Một mảnh vườn hình thang có độ dài hai đáy lần lượt là \(16\text{m}\) và \(24\text{m}\), hai góc kề với đáy lớn có số đo lần lượt bằng \(60^\circ\) và \(30^\circ\). Tính diện tích của mảnh vườn đó.
2) Cho đường tròn \((O)\) và một điểm \(A\) cố định nằm ngoài đường tròn. Từ \(A\) kẻ hai tiếp tuyến \(AB, AC\) đến \((O)\) (với \(B, C\) là các tiếp điểm). Gọi \(M\) là một điểm di động trên cung nhỏ \(BC\) (\(M\) không trùng với \(B\) và \(C\)). Đường thẳng \(AM\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(N\). Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\). Gọi \(H, P\) lần lượt là giao điểm của \(AO, AN\) với \(BC\).
a) Chứng minh rằng tứ giác \(OHPE\) nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đẳng thức: \(AB^2 = AM \cdot AN\).
c) Gọi \(I, J\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên các cạnh \(AB, AC\). Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cung nhỏ \(BC\) để tích \(MI \cdot MJ\) đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho một hình vuông có độ dài cạnh bằng \(10\text{cm}\). Người ta đặt \(51\) điểm phân biệt vào bên trong hình vuông sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tìm được ít nhất 3 điểm trong số \(51\) điểm đã cho tạo thành một tam giác có diện tích không vượt quá \(2\text{cm}^2\).