Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 (vòng sơ loại cấp cụm) tỉnh Tuyên Quang năm học 2025 - 2026 có thời gian làm bài 150 phút. Đề thi bao gồm 5 câu hỏi tự luận với cơ cấu điểm số đa dạng, bao quát các chủ đề quan trọng: Rút gọn biểu thức đại số và bài toán thực tế tối ưu hóa (Câu 1); Phương trình bậc hai chứa tham số và hệ phương trình phi tuyến (Câu 2); Hình học phẳng tổng hợp về tam giác nhọn, đường cao, đồng dạng, tứ giác nội tiếp và chứng minh đồng quy (Câu 3); Số học gồm phương trình nghiệm nguyên và tính chất chia hết (Câu 4); Bài toán tư duy tổ hợp trò chơi đổi dấu trên bảng ô vuông \(8 \times 8\) (Câu 5).
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Cho biểu thức:
\[ P = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} - \frac{x-\sqrt{x}+8}{x-2\sqrt{x}} \right) : \left( \frac{3}{\sqrt{x}+1} - \frac{2}{\sqrt{x}-2} \right) \]Rút gọn biểu thức \(P\) với điều kiện \(x > 0; x \neq 4; x \neq 64\).
b) Một gia đình dự định xây một bể nước ngầm không có nắp hình hộp chữ nhật có thể tích là \(16\text{ m}^3\). Thiết kế yêu cầu chiều dài bể gấp 2 lần chiều rộng. Chi phí xây dựng mặt đáy là \(900.000\) đồng/\(\text{m}^2\), chi phí xây dựng 4 mặt xung quanh là \(600.000\) đồng/\(\text{m}^2\). Hãy tính các kích thước của bể (chiều rộng, chiều dài, chiều cao) sao cho tổng chi phí xây dựng là nhỏ nhất.
Câu 2 (5,0 điểm).
a) Cho phương trình: \(x^2 - (2m+3)x + m^2 + 1 = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn hệ thức:
\[ 2(x_1 + x_2) + x_1 x_2 = 12 \]b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
\[ \begin{cases} (x-y)(1-y) = y^3 - xy^2 \\ 4\left(\sqrt{y^2-4x+3}+y\right) = x^2 + 6 \end{cases} \]Câu 3 (5,0 điểm).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn (với \(AB < AC\)), các đường cao \(AD, BE, CF\) cắt nhau tại trực tâm \(H\). Lấy điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(HB\) sao cho \(AM \perp CM\); lấy điểm \(N\) thuộc đoạn thẳng \(HC\) sao cho \(AN \perp BN\).
a) Chứng minh hai tam giác \(AEB\) và \(AFC\) đồng dạng, từ đó chứng minh tứ giác \(BDHF\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(AM = AN\) và \(FC\) là tia phân giác của góc \(\widehat{DFE}\).
c) Đường thẳng \(d_1\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(EF\); đường thẳng \(d_2\) đi qua \(B\) và vuông góc với \(DF\); đường thẳng \(d_3\) đi qua \(C\) và vuông góc với \(DE\). Chứng minh rằng ba đường thẳng \(d_1, d_2, d_3\) đồng quy tại một điểm.
Câu 4 (3,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x; y)\) thỏa mãn phương trình:
\[ x^2 - 2y^2 - xy - x + 2y - 3 = 0 \]b) Cho \(n\) là một số nguyên dương lẻ sao cho \((3^n + 7^n)\) chia hết cho \(11\). Chứng minh rằng \((2025^n + 2026^n)\) cũng chia hết cho \(11\).
Câu 5 (2,0 điểm).
Xét một bảng ô vuông kích thước \(8 \times 8\) (gồm 64 ô vuông nhỏ). Tại mỗi ô vuông, ta điền một số nguyên khác \(0\) tùy ý. Bạn Bình thực hiện trò chơi "Đổi dấu" theo quy tắc: ở mỗi bước, chọn một hàng hoặc một cột có tổng các số trên hàng/cột đó là một số âm, sau đó đổi dấu toàn bộ các số thuộc hàng hoặc cột đã chọn. Chứng minh rằng quá trình đổi dấu này không thể diễn ra vô hạn, nghĩa là đến một bước nào đó Bình sẽ không thể thực hiện thao tác được nữa (tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều trở thành số không âm).