ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 - NĂM HỌC 2025-2026
Đơn vị: UBND Xã Hồng Vân - Phòng Văn hóa - Xã hội
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài I. (3,5 điểm)
1. Cho hai hộp kín, trong đó: Hộp thứ nhất chứa 6 thẻ ghi đủ các số từ 1 đến 6, hộp thứ hai có 9 thẻ được ghi đủ các số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 thẻ. Tính xác suất chọn được hai thẻ mà tích hai số chọn được trên hai thẻ là một số chia hết cho 5.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x; y)\) thỏa mãn: \(x^2 - 6y^2 + xy + 2y - x - 5 = 0\).
Bài II. (5,5 điểm)
1. Cho biểu thức: \(P = \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} : \left( \frac{x+1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{2-x^2}{x^2-x} \right)\) với \(x \neq 0, x \neq \pm 1\).
a) Rút gọn biểu thức \(P\).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = x^2 - 7x - \frac{1}{x-1} + P + 2033\).
2. Cho hệ phương trình: \[(I) \begin{cases} mx + (m+1)y = 38 \\ (m+1)x - my = 19m + 7 \end{cases}\]
a) Giải hệ phương trình \((I)\) với \(m = 1\).
b) Chứng tỏ rằng với bất kỳ giá trị nào của tham số \(m\) thì hệ phương trình \((I)\) luôn có nghiệm duy nhất.
Bài III. (4,0 điểm)
1. Tìm đa thức \(f(x)\) biết \(f(x)\) chia cho \((x-3)\) dư 2; \(f(x)\) chia cho \((x+4)\) dư 9 và \(f(x)\) chia cho \((x^2 + x - 12)\) được thương là \((x^2 + 3)\) và còn dư.
2. Một xe vận chuyển đồ ăn tự động trong một nhà hàng được lập trình di chuyển từ vị trí A đến vị trí B theo cách sau: Sau khi đi được 4m dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lại 2 giây, đi tiếp 12m dừng lại 3 giây, ... Cứ như vậy mỗi lượt xe đi từ vị trí A đến vị trí B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Tính quãng đường xe đã di chuyển từ vị trí A đến vị trí B trong nhà hàng. Biết rằng khi đi xe vận chuyển luôn có tốc độ ổn định là 2m/s.
Bài IV. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC là tam giác nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh \(\Delta AEF\) đồng dạng với \(\Delta ABC\).
b) Chứng minh: \(\frac{AE \cdot BF}{DE \cdot EF} = \frac{FD}{CD}\).
c) Trên tia đối của tia DH lấy K sao cho DK = DH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DE và KC. Chứng minh rằng \(\widehat{BMN} = 90^\circ\).
Bài V. (2,0 điểm)
1. Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng: Nếu \(4a^2 + 3ab - 11b^2\) chia hết cho 5 thì \(a^4 - b^4\) chia hết cho 5.
2. Tìm số nguyên x sao cho \(x^2 + 13x + 32\) là số chính phương.