NỘI DUNG ĐỀ THI
Câu 1 (5,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức \(P = \frac{4}{\sqrt{5}-1} + \sqrt{13-4\sqrt{3}} - \sqrt{17+4\sqrt{15}}\).
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = 3x + \sqrt{1-x^2}\).
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \(\frac{x^2-x+m-5}{x-2} = 1\) có hai nghiệm phân biệt.
b) Giải hệ phương trình:
\[\begin{cases} (x^2+y^2) \cdot \frac{x+y+1}{y+1} = 4 \\ \frac{x^2+y^2}{y+1} + x + y = 3 \end{cases}\]Câu 3 (5,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{BAC} > 90^\circ\), \(AB < AC\) và nội tiếp trong đường tròn \((I)\). Gọi \(X\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(I\). Hai điểm \(D, E\) lần lượt thuộc các đoạn thẳng \(BX\) và \(CX\) sao cho \(I\) là trung điểm của \(DE\).
1. Chứng minh rằng:
a) \(\widehat{CAD} = 90^\circ\);
b) Hai tam giác \(ABC\) và \(EXA\) đồng dạng.
2. Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ADE\). Chứng minh rằng \(OA\) đi qua trung điểm của \(BC\).
Câu 4 (3,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dương \(n\) ta ký hiệu \(A_n = 1 + n \cdot 2^n\).
a) Tìm dư khi chia \(A_{2026}\) cho 15.
b) Cho \(p\) là một số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng: \(A_{p-2}\) và \(A_{p-1}\) có ước chung lớn nhất không nhỏ hơn \(p\).
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho 26 số nguyên dương phân biệt \(a_1, a_2, \dots, a_{26}\) không chia hết cho 51. Chứng minh rằng tồn tại hai số \(a_m \neq a_n\) thỏa mãn: \(a_m^2 - a_n^2\) chia hết cho 51.