Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh THCS môn Toán năm học 2025 - 2026 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh tổ chức (ngày thi 22/01/2026). Phần trắc nghiệm bao gồm các câu hỏi thuộc nhiều chuyên đề: Định lý Vi-ét, hệ phương trình hai ẩn, phép chia đa thức, bất đẳng thức và cực trị, hình học phẳng (tam giác vuông, đường tròn nội/ngoại tiếp), hình học tọa độ $Oxy$, xác suất cổ điển và phương trình chứa căn tìm giá trị nguyên.
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Xét phương trình bậc hai hai ẩn $m$: \(2x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0\). Giả sử \(x_1, x_2\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Biểu thức \(A = 2x_1x_2 + x_1 + x_2 - 4\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. \(1\)
B. \(\frac{25}{4}\)
C. \(-\frac{25}{4}\)
D. \(-6\)
Câu 2. Cho hệ phương trình chứa hai tham số $a, b$ và hai ẩn $x, y$: \[\begin{cases} (a+1)x - 2(3b+2)y = 6 \\ (3b-1)x + 2ay = 56 \end{cases}\] Biết hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất là \((x; y) = (-2; 3)\). Tìm tọa độ điểm \((a; b)\).
A. \(\left(-\frac{19}{71}; \frac{71}{10}\right)\)
B. \(\left(-\frac{71}{10}; \frac{19}{10}\right)\)
C. \(\left(-\frac{19}{10}; \frac{71}{10}\right)\)
D. \(\left(\frac{71}{10}; -\frac{19}{10}\right)\)
Câu 3. Cho đa thức bậc ba \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) với các hệ số $a, b, c$ là số thực. Biết rằng khi chia \(f(x)\) cho \(g(x) = x + 1\) thì thu được số dư là \(-2\), và khi chia \(f(x)\) cho \(h(x) = x - 2\) thì dư \(7\). Giá trị của biểu thức \(P = (2025a + 2023b + c)^{2026} + 1\) là:
A. \(2\)
B. \(-2\)
C. \(0\)
D. \(1\)
Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \sqrt{8 - 2x} + \sqrt{2x + 2}\) là bao nhiêu?
A. \(0\)
B. \(\sqrt{10}\)
C. \(20\)
D. \(2\sqrt{5}\)
Câu 5. Xét tam giác vuông cân có độ dài mỗi cạnh góc vuông là \(1\). Gọi \(O\) và \(I\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác đó. Tính khoảng cách giữa hai điểm \(O\) và \(I\).
A. \(\frac{2 - \sqrt{2}}{2}\)
B. \(\frac{2 + \sqrt{2}}{2}\)
C. \(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\)
D. \(\frac{\sqrt{2} + 1}{2}\)
Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét đường thẳng \((d): y = 2x + m - 1\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \((d)\) đúng bằng \(1\).
A. \(1 + \sqrt{5}\)
B. \(6\)
C. \(\{1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}\}\)
D. \(\{6; 4\}\)
Câu 7. Trong một hộp chứa 30 viên bi cùng kích thước và chất liệu gồm: 15 bi đỏ, 10 bi xanh và 5 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 5 viên bi. Tính xác suất để 5 viên bi được lấy ra có đủ cả 3 màu, đồng thời số bi đỏ thu được không ít hơn 2 viên.
A. \(\frac{125}{783}\)
B. \(\frac{125}{754}\)
C. \(\frac{250}{3393}\)
D. \(\frac{625}{1566}\)
Câu 8. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\) và đường phân giác trong \(AD\). Cho biết độ dài các đoạn thẳng \(BH = 20\text{ cm}\) và \(CH = 45\text{ cm}\). Hãy tính độ dài của đoạn thẳng \(HD\).
A. \(7\text{ cm}\)
B. \(6\text{ cm}\)
C. \(5\text{ cm}\)
D. \(4\text{ cm}\)
Câu 9. Tìm số lượng các số nguyên \(x\) thỏa mãn sao cho biểu thức \(P = \frac{7\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}\) đạt giá trị là một số nguyên.
A. \(3\)
B. \(4\)
C. \(5\)
D. \(6\)