Nội dung đề thi
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Giải phương trình sau trên tập số thực: \[ x^2 - 2x - 3 = \sqrt{x+3} \]
b) Tìm các cặp số thực \( (x; y) \) thỏa mãn hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3xy + y + 1 = 21x \\ 9x^2y^2 + 3xy + 1 = 117x^2 \end{cases} \]
Câu 2 (5,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), cho hình thang cân \( ABCD \) có hai đáy \( AB \) và \( CD \) thỏa mãn \( CD = 3AB \). Hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau tại điểm \( I \). Gọi \( M \) là điểm nằm trên cạnh \( AD \) sao cho \( DA = 3DM \) và \( N \) là trung điểm của đoạn \( IB \). Biết đường thẳng \( IM \) đi qua \( P(10;7) \) và đường thẳng \( CN \) có phương trình \( 7x + 5y - 37 = 0 \). Chứng minh đường thẳng \( IM \) vuông góc với đường thẳng \( CN \), đồng thời tìm tọa độ hai đỉnh \( C, D \) biết đỉnh \( A(2;3) \).
b) Cho tam giác \( ABC \) có \( AD \) là đường phân giác trong của góc \( A \) (với \( D \in BC \)) và \( BM \) là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \( B \) (với \( M \in AC \)). Cho biết hai đường thẳng \( AD \) và \( BM \) vuông góc với nhau, đồng thời mối liên hệ độ dài là \( BM = \frac{3}{2}\sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \cdot AD \). Hãy tính giá trị của \( \cos A \).
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Xét dãy số \( (a_n) \) được xác định bởi công thức \( a_1 = 0 \) và \( a_{n+1} = -a_n + 2n + 1 \) với mọi \( n \ge 1 \). Chứng minh rằng số hạng tổng quát của dãy số là \( a_n = (-1)^n + n \) với mọi \( n \ge 1 \), từ đó tính tổng của \( 2025 \) số hạng đầu tiên của dãy \( (a_n) \).
b) Cho dãy số \( (u_n) \) xác định bởi \( u_1 = 4 \) và \( u_{n+1} = u_n^2 - 5u_n + 9 \) với mọi \( n \ge 1 \). Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây luôn đúng: \[ \frac{1}{u_1 - 2} + \frac{1}{u_2 - 2} + \dots + \frac{1}{u_{2025} - 2} < 1 \]
Câu 4 (3,0 điểm).
Một bồn hoa hình tròn ở vị trí trung tâm sân trường được phân chia thành 6 phần diện tích bằng nhau dạng hình quạt. Nhà trường giao nhiệm vụ cho 6 lớp thuộc khối 10, mỗi lớp chọn trồng một trong 4 loại hoa gồm: hoa cúc, hoa hồng, hoa lan, hoa hướng dương vào các khu vực hình quạt đã được chỉ định.