ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9
Câu 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức \(M = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}\). Rút gọn biểu thức \(P = \sqrt{M + x + 1} - 1\).
Câu 2. (2,0 điểm) Cho các số thực \(x, y, z\) thỏa mãn điều kiện \(xy + yz + zx = 2026\). Tính giá trị của biểu thức:\[B = \frac{x}{x^2 + 2026} + \frac{y}{y^2 + 2026} + \frac{z}{z^2 + 2026} - \frac{4052}{2026(x+y+z) - xyz}\]
Câu 3. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:\[\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 1 \\ \left(\frac{x}{y+1}\right)^2 + \left(\frac{y}{x+1}\right)^2 = 13 \end{cases}\]
Câu 4. (2,0 điểm) Một tấm bìa hình tròn được chia thành 6 hình quạt tròn có diện tích bằng nhau, lần lượt ghi các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 và được gắn vào một trục quay có mũi tên cố định tại tâm. Thực hiện quay tấm bìa 2 lần. Tính xác suất để mũi tên chỉ vào hai hình quạt tròn không đối xứng với nhau qua tâm.
Câu 5. (2,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số \((x, y)\) thỏa mãn phương trình: \((x^2 - 4)^2 = 3y^4 + 12y^2 + 25 + 2x^2 y^2\), trong đó \(x\) là một số nguyên và \(y\) là một số nguyên tố.
Câu 6. (1,5 điểm) Hai người nông dân cùng mang tổng cộng 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau nhưng tổng số tiền thu được của mỗi người lại bằng nhau. Người thứ nhất nói với người thứ hai: "Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi sẽ bán được 15 đồng". Người thứ hai trả lời: "Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi chỉ bán được \(6\frac{2}{3}\) đồng thôi". Hỏi ban đầu mỗi người mang bao nhiêu quả trứng đi bán?
Câu 7. (1,5 điểm) Để xác định chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của một kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội - Huế), người ta dựng hai cọc \(AM\) và \(BN\) cùng cao 1,5m so với mặt đất. Hai cọc này đặt song song, cách nhau 10m và thẳng hàng với chân cột cờ. Khi đặt giác kế tại đỉnh \(A\) và đỉnh \(B\) để nhìn tới đỉnh cột cờ, người ta đo được các góc lần lượt là \(54^\circ 45'\) và \(45^\circ 39'\) so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cột cờ (kết quả làm tròn đến 0,01m).
Câu 8. (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng \(AB\) với \(O\) là trung điểm của \(AB\). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB\), vẽ các tia \(Ax\) và \(By\) cùng vuông góc với \(AB\). Lấy điểm \(C\) thuộc tia \(Ax\) và điểm \(D\) thuộc tia \(By\) sao cho \(\widehat{COD} = 90^\circ\).
a) Chứng minh rằng ba tam giác \(\triangle ACO\), \(\triangle BOD\) và \(\triangle OCD\) đồng dạng với nhau.
b) Kẻ \(OI \perp CD\) (với \(I \in CD\)), gọi \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Chứng minh rằng đường thẳng \(IK\) song song với \(AC\).