Kiến thức trọng tâm về Cấp số nhân:
- Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\) với \(n \ge 2\).
- Tính chất ba số hạng liên tiếp: \(u_{k-1} \cdot u_{k+1} = u_k^2\) với \(k \ge 2\).
- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên: \[S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \ne 1)\]
- Bài toán tăng trưởng (lãi kép, dân số): \[S_n = S_0 \cdot (1 + r)^n\]
Hệ thống bài tập Cấp số nhân
Câu 85. Cho cấp số nhân có \(u_1 = -3\), công bội \(q = \frac{2}{3}\). Số \(-\frac{96}{243}\) là số hạng thứ mấy của cấp số này?
Trả lời: 6
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = -3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\]
Xét: \[u_n = -\frac{96}{243} \Rightarrow -3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = -\frac{96}{243} \Rightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \frac{32}{243} = \left(\frac{2}{3}\right)^5\]
\[\Rightarrow n - 1 = 5 \Rightarrow n = 6\]
Vậy \(-\frac{96}{243}\) là số hạng thứ 6 của cấp số nhân đã cho.
Câu 86. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(S_2 = 4\) và \(S_3 = 13\) (trong đó \(S_2, S_3\) theo thứ tự là tổng của hai và của ba số hạng đầu của cấp số nhân). Tổng của năm số hạng đầu của cấp số nhân có công bội dương có giá trị bằng bao nhiêu?
Trả lời: 121
Ta có: \[u_3 = S_3 - S_2 = 9 \Rightarrow u_1 q^2 = 9 \Rightarrow u_1 = \frac{9}{q^2} \quad (1) \quad (\text{vì } q \ne 0)\]
Mặt khác \(S_2 = 4\) nên: \[u_1 + u_1 q = 4 \quad (2)\]
Thay \((1)\) vào \((2)\), ta có: \[\frac{9}{q^2} + \frac{9}{q} = 4 \Leftrightarrow 4q^2 - 9q - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 3 \\ q = -\frac{3}{4} \end{array}\right.\]
Vì công bội dương nên chọn \(q = 3\). Khi đó \(u_1 = 1\). Suy ra tổng của năm số hạng đầu là: \[S_5 = \frac{u_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{1(1 - 3^5)}{1 - 3} = 121\]
Câu 87. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để các số \(2x - 1; x; 2x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Trả lời: 2
Vì \(2x - 1; x; 2x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên: \[(2x - 1)(2x + 1) = x^2 \Rightarrow 4x^2 - 1 = x^2 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\]
Vậy có hai giá trị \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) thoả mãn đề bài.
Câu 88. Cho các số \(x + 6y; 5x + 2y; 8x + y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số \(x - 1; y + 2; x - 3y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính \(x^2 + y^2\).
Trả lời: 40
Theo giả thiết, ta có hệ phương trình: \[\begin{cases} (x + 6y) + (8x + y) = 2(5x + 2y) \\ (x - 1)(x - 3y) = (y + 2)^2 \end{cases}\]
\[\Leftrightarrow \begin{cases} x = 3y \\ (3y - 1)(3y - 3y) = (y + 2)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 3y \\ 0 = (y + 2)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -6 \\ y = -2 \end{cases}\]
Suy ra: \[x^2 + y^2 = (-6)^2 + (-2)^2 = 40\]
Câu 89. Kết quả của tổng \(S = 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + \dots + 79 \cdot 5^{78}\) được viết dưới dạng \(a + \frac{315}{16} \cdot 5^b\) (với \(b \in \mathbb{N}\), \(a\) là phân số tối giản). Tính giá trị biểu thức \(P = a + \frac{b}{16}\).
Trả lời: 5
Từ giả thiết, nhân cả hai vế với 5 ta có: \[5S = 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + 79 \cdot 5^{79}\]
Do đó: \[-4S = S - 5S = 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{78} - 79 \cdot 5^{79}\]
Đặt \(S' = 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{78}\), đây là tổng của 79 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu bằng 1 và công bội bằng 5: \[S' = \frac{1 - 5^{79}}{1 - 5}\]
Vậy: \[-4S = S' - 79 \cdot 5^{79} = \frac{1 - 5^{79}}{1 - 5} - 79 \cdot 5^{79} = -\frac{1}{4} + \frac{315 \cdot 5^{79}}{4}\]
\[\Rightarrow S = \frac{1}{16} + \frac{315}{16} \cdot 5^{79}\]
Đồng nhất với dạng \(S = a + \frac{315}{16} \cdot 5^b\), ta được: \(a = \frac{1}{16}, b = 79\).
Suy ra giá trị của biểu thức: \[P = a + \frac{b}{16} = \frac{1}{16} + \frac{79}{16} = 5\]
Câu 90. Theo báo cáo của Chính phủ, dân số của nước ta tính đến tháng 12 năm 2018 là 95,93 triệu người, nếu tỉ lệ tăng trưởng dân số trung bình hằng năm là \(1,33\%\) thì dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là bao nhiêu người? (Tính theo đơn vị triệu người, làm tròn đến hàng đơn vị).
Trả lời: 105
Theo tỉ lệ tăng trưởng \(1,33\%\) mỗi năm:
- Tháng 12 năm 2019, dân số nước ta là: \[u_1 = 95{,}93 + 95{,}93 \cdot \frac{1{,}33}{100} = 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right) \quad (\text{triệu người})\]
- Tháng 12 năm 2020, dân số nước ta là: \[u_2 = 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right) + 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right) \cdot \frac{1{,}33}{100} = 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right)^2 \quad (\text{triệu người})\]
- Theo quy luật đó, dân số nước ta vào tháng 12 năm thứ \(n\) kể từ năm 2018 được tính theo công thức: \[u_n = 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right)^n \quad (\text{triệu người})\]
- Vào tháng 12 năm 2025 (tức \(n = 2025 - 2018 = 7\)), dân số nước ta là: \[u_7 = 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right)^7 \approx 105{,}23 \quad (\text{triệu người})\]
Làm tròn đến hàng đơn vị, dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là 105 triệu người.
Câu 91. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = -3\), công bội \(q = -2\). Hỏi \(-192\) là số hạng thứ mấy của \((u_n)\)?
Trả lời: 7