Hệ thống bài tập nâng cao và ứng dụng thực tế của Cấp số nhân - Cấp số cộng trong chương trình Toán 11. Bao gồm các dạng toán tìm số hạng dựa vào mối liên hệ giữa CSC và CSN, bài toán chuyển động nảy của quả bóng (cấp số nhân lùi vô hạn) và dãy số quy nạp kết hợp tính tổng.
Bài tập rèn luyện Cấp số nhân & Cấp số cộng
Trả lời: 2
Gọi \(u_1; u_2; u_3\) theo thứ tự là ba số cần tìm tạo thành cấp số cộng.
Vì ba số \(u_1; u_2; u_3\) có tổng là \(21\) nên:
\[u_1 + u_2 + u_3 = 21 \quad (1)\]Vì ba số \(u_1; u_2; u_3\) lập thành cấp số cộng nên:
\[u_1 + u_3 = 2u_2 \quad (2)\]Nếu thêm \(2, 3, 9\) lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân, ta có:
\[(u_1 + 2)(u_3 + 9) = (u_2 + 3)^2 \quad (3)\]Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 21 \\ u_1 + u_3 = 2u_2 \\ (u_1 + 2)(u_3 + 9) = (u_2 + 3)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3u_2 = 21 \\ u_1 + u_3 = 2u_2 \\ (u_1 + 2)(u_3 + 9) = (u_2 + 3)^2 \end{cases}\] \[\Leftrightarrow \begin{cases} u_2 = 7 \\ u_1 + u_3 = 14 \\ (u_1 + 2)(u_3 + 9) = (7 + 3)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_2 = 7 \\ u_1 = 14 - u_3 \\ (14 - u_3 + 2)(u_3 + 9) = 100 \quad (*) \end{cases}\]Giải phương trình \((*)\):
\[(16 - u_3)(u_3 + 9) = 100 \Leftrightarrow -u_3^2 + 7u_3 + 44 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} u_3 = 11 \\ u_3 = -4 \end{array}\right.\]- Với \(u_3 = 11\) thì \(u_1 = 14 - 11 = 3\).
- Với \(u_3 = -4\) thì \(u_1 = 14 - (-4) = 18\).
Vậy ba số cần tìm là \((3; 7; 11)\) hoặc \((18; 7; -4)\).
Trả lời: 60
Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân có \(u_1 = 12\) và \(q = \frac{2}{3}\).
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là:
\[S = \frac{u_1}{1 - q} = \frac{12}{1 - \frac{2}{3}} = 36\text{ (m)}\]Vậy tổng quãng đường bóng đi được (cả lên và xuống) đến khi bóng dừng hẳn là:
\[2S - 12 = 2 \cdot 36 - 12 = 60\text{ (m)}\]Trả lời: 0,5
Theo đề bài ta có:
\[u_{n+1} = \frac{n+1}{3n} \cdot u_n \Leftrightarrow \frac{u_{n+1}}{n+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{u_n}{n}\]Mà \(u_1 = \frac{1}{3}\) nên:
\[\frac{u_2}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{u_1}{1} = \left(\frac{1}{3}\right)^2; \quad \frac{u_3}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{u_2}{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^3; \quad \ldots; \quad \frac{u_{10}}{10} = \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\]Do đó dãy \(\left(\frac{u_n}{n}\right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_1 = \frac{1}{3}\), công bội \(q = \frac{1}{3}\).
Khi đó:
\[S = u_1 + \frac{u_2}{2} + \frac{u_3}{3} + \ldots + \frac{u_{10}}{10} = \frac{u_1 \cdot (1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{\frac{1}{3}\left[1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\right]}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{29524}{59049} \approx 0,5\]Trả lời: 3375
Gọi \(u_1; u_2; u_3\) theo thứ tự là ba số cần tìm lập thành một cấp số nhân.
Vì tổng của ba số \(u_1; u_2; u_3\) cần tìm là \(65\) nên ta có phương trình:
\[u_1 + u_2 + u_3 = 65 \quad (1)\]Vì nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và \(19\) đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng nên ta có:
\[(u_1 - 1) + (u_3 - 19) = 2u_2 \Leftrightarrow u_1 - 2u_2 + u_3 = 20 \quad (2)\]Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 65 \\ u_1 - 2u_2 + u_3 = 20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + u_1 q + u_1 q^2 = 65 \\ u_1 - 2u_1 q + u_1 q^2 = 20 \end{cases}\]