Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức nền tảng của bài Cấp số cộng thuộc chương trình Toán 11 mới. Bao gồm định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, tính chất đối xứng của các số hạng và công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên.
1. Định nghĩa cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\).
Nghĩa là: \[u_{n+1} = u_n + d \quad (n \in \mathbb{N}^*)\]
Số không đổi \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.
Trường hợp đặc biệt: Khi \(d = 0\), cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
2. Số hạng tổng quát
Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định theo công thức:
\[u_n = u_1 + (n - 1)d, \quad \forall n \ge 1\]
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều bằng trung bình cộng của hai số hạng đứng liền kề với nó, nghĩa là:
\[u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}, \quad \forall k \ge 2\]
Hệ quả: Ba số \(a, b, c\) (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:
\[a + c = 2b\]
4. Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng \((u_n)\) có công sai \(d\). Đặt \(S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Ta có công thức tính tổng:
\[S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = n u_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d\]
5. Nhận xét quan trọng
1. Nếu \((u_n)\) là một cấp số cộng thì mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó: \[u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2} \quad \text{với } k \ge 2\]
2. Cấp số cộng \((u_n)\) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai \(d > 0\).
3. Cấp số cộng \((u_n)\) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai \(d < 0\).