Tóm tắt kiến thức trọng tâm:
- Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\) với \(n \ge 2\).
- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân: \(S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} = \dfrac{u_1(q^n - 1)}{q - 1}\) với \(q \ne 1\).
- Mối liên hệ giữa các số hạng: \(u_1 = S_1\) và \(u_n = S_n - S_{n-1}\) với mọi \(n \ge 2\).
C. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 70. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có tổng \(n\) số hạng đầu tiên là \(S_n = 5^n - 1\). Tính tổng số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) của cấp số nhân đó.
Trả lời: 9
Ta có:
\[ u_1 = S_1 = 5^1 - 1 = 4 \] \[ u_2 = S_2 - S_1 = (5^2 - 1) - (5 - 1) = 24 - 4 = 20 \]Suy ra công bội: \(q = \dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{20}{4} = 5\).
Khi đó, tổng số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) của cấp số nhân bằng: \(u_1 + q = 4 + 5 = 9\).
Câu 71. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân \((u_n)\), biết:
\[
\begin{cases}
u_1 + u_5 = 51 \\
u_2 + u_6 = 102
\end{cases}
\]
Trả lời: 3
Áp dụng công thức số hạng tổng quát \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\), ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases} u_1 + u_1 q^4 = 51 \\ u_1 q + u_1 q^5 = 102 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q^4) = 51 \\ u_1 q(1 + q^4) = 102 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = \dfrac{51}{1 + q^4} \\ \dfrac{u_1(1 + q^4)}{u_1 q(1 + q^4)} = \dfrac{51}{102} \end{cases} \] \[ \Rightarrow \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow q = 2 \]Khi đó:
\[ u_1 = \dfrac{51}{1 + 2^4} = \dfrac{51}{17} = 3 \]Vậy \(u_1 = 3\), \(q = 2\).
Câu 72. Biết \((u_1; q)\) là cặp số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \((u_n)\) thỏa mãn:
\[
\begin{cases}
u_2 = 6 \\
S_3 = 43
\end{cases}
\]
Có bao nhiêu cặp \((u_1; q)\) thỏa cấp số nhân đã cho?
Trả lời: 2
Áp dụng công thức \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\) và \(S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}\), ta có:
\[ \begin{cases} u_1 q = 6 \\ \dfrac{u_1(1 - q^3)}{1 - q} = 43 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 q = 6 \\ u_1(1 + q + q^2) = 43 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = \dfrac{6}{q} \\ \dfrac{q}{1 + q + q^2} = \dfrac{6}{43} \end{cases} \] \[ \Rightarrow 43q = 6(1 + q + q^2) \Leftrightarrow 6q^2 - 37q + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 6 \\ q = \dfrac{1}{6} \end{array}\right. \]- Với \(q = 6 \Rightarrow u_1 = \dfrac{6}{6} = 1\).
- Với \(q = \dfrac{1}{6} \Rightarrow u_1 = \dfrac{6}{\frac{1}{6}} = 36\).
Vậy có 2 cặp \((u_1; q)\) thỏa mãn là \((1; 6)\) hoặc \((36; \dfrac{1}{6})\).
Câu 73. Biết \((u_1; q)\) là cặp số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \((u_n)\) thỏa mãn:
\[
\begin{cases}
u_1 + u_2 + u_3 = 31 \\
u_1 + u_3 = 26
\end{cases}
\]
Có bao nhiêu cặp \((u_1; q)\) có công bội là số nguyên thỏa mãn cấp số nhân đã cho?
Trả lời: 1
Ta có:
\[ \begin{cases} u_1 + u_1 q + u_1 q^2 = 31 \\ u_1 + u_1 q^2 = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q + q^2) = 31 \\ u_1(1 + q^2) = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{1 + q + q^2}{1 + q^2} = \dfrac{31}{26} \\ u_1 = \dfrac{26}{1 + q^2} \end{cases} \] \[ \Rightarrow 26(1 + q + q^2) = 31(1 + q^2) \Leftrightarrow 26 + 26q + 26q^2 = 31 + 31q^2 \] \[ \Leftrightarrow 5q^2 - 26q + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 5 \\ q = \dfrac{1}{5} \end{array}\right. \]- Với \(q = 5\) (nhận do \(q \in \mathbb{Z}\)) \(\Rightarrow u_1 = \dfrac{26}{1 + 5^2} = 1\).
- Với \(q = \dfrac{1}{5}\) (loại vì không phải là số nguyên).
Vậy có duy nhất 1 cặp thỏa mãn là \((u_1; q) = (1; 5)\).
Câu 74. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân \((u_n)\), biết:
\[
\begin{cases}
u_5 + u_2 = 36 \\
u_6 - u_4 = 48
\end{cases}
\]
Trả lời: 2
Ta có:
\[ \begin{cases} u_1 q^4 + u_1 q = 36 \\ u_1 q^5 - u_1 q^3 = 48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(q^4 + q) = 36 \\ u_1(q^5 - q^3) = 48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = \dfrac{36}{q^4 + q} \\ \dfrac{q^4 + q}{q^5 - q^3} = \dfrac{36}{48} = \dfrac{3}{4} \end{cases} \] \[ \Rightarrow 4(q^4 + q) = 3(q^5 - q^3) \Leftrightarrow 4q^4 + 4q = 3q^5 - 3q^3 \] \[ \Leftrightarrow -3q^5 + 4q^4 + 3q^3 + 4q = 0 \Leftrightarrow -q(q + 1)(q - 2)(3q^2 - q + 2) = 0 \] \[ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 0 \\ q = -1 \\ q = 2 \\ 3q^2 - q + 2 = 0 \text{ (vô nghiệm)} \end{array}\right. \]Do \(q \ne 0\) và \(q \ne \pm 1\) (để biểu thức xác định), ta nhận \(q = 2\).
Với \(q = 2\), ta được số hạng đầu:
\[ u_1 = \dfrac{36}{2^4 + 2} = \dfrac{36}{18} = 2 \]Vậy \(u_1 = 2\), \(q = 2\).