TỔNG QUAN VỀ ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN
- Đối tượng áp dụng: Chuyên Toán & Chuyên Tin
- Thời gian làm bài: 150 phút (không kể phát đề)
- Hình thức thi: 100% Tự luận (05 câu)
- Thang điểm: 10,0 điểm
- Phạm vi kiến thức: Bao quát 4 trụ cột chính của Toán học phổ thông nâng cao bao gồm Đại số, Số học, Hình học phẳng và Toán rời rạc / Xác suất / Trò chơi toán học.
I. TỔNG QUAN VỀ ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN
Đề thi Toán chuyên của Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội được thiết kế theo chuẩn đề thi học sinh giỏi, bao quát 4 trụ cột chính của Toán học phổ thông nâng cao: Đại số, Số học, Hình học phẳng và Toán rời rạc / Xác suất / Trò chơi toán học.
II. PHÂN BỔ NỘI DUNG CÁC CÂU HỎI TRONG ĐỀ THI
Câu 1. Bất đẳng thức & Xác suất cổ điển (2,0 điểm)
a) (1,0đ) - Bất đẳng thức: Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c \le 2\sqrt{abc}\). Chứng minh rằng trong ba số \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\) không có hai số nào có tổng lớn hơn 1.
b) (1,0đ) - Xác suất cổ điển: Bài toán rút thẻ ngẫu nhiên từ hộp (chứa 40 tấm thẻ ghi số từ 1 đến 10, mỗi số có 4 thẻ). Tính xác suất để chọn 2 thẻ cùng ghi một số.
Câu 2. Phương trình vô tỉ & Số học cơ bản (2,0 điểm)
a) (1,0đ) - Giải phương trình: Phương trình vô tỉ nâng cao chứa căn thức: \[(x + 1)\left(\sqrt{2x + 4} - 2\sqrt{x + 3}\right) + \sqrt{2x^2 + 10x + 12} = -2\]
b) (1,0đ) - Số học (Số nguyên tố): Tìm bộ ba số nguyên tố có tổng bằng 242 sao cho tích của chúng đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3. Hình học phẳng tổng hợp (Nâng cao) (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn, không cân \(ABC\) có đường tròn nội tiếp \((I)\) tiếp xúc với các cạnh \(BC, CA, AB\) lần lượt tại \(D, E, F\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trực tâm của các tam giác \(BDF\) và \(CDE\).
a) (1,0đ): Chứng minh \(AI \perp MN\).
b) (1,0đ): Chứng minh đẳng thức tích đoạn thẳng: \(IB \cdot IM = IC \cdot IN\).
c) (1,0đ): Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DMN\) đi qua hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BC\).