Chủ đề Cấp số nhân cung cấp nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 11. Bài viết hệ thống hoá đầy đủ định nghĩa, công bội, công thức tìm số hạng tổng quát, các tính chất cơ bản giữa các số hạng liên tiếp và công thức tính tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.
1. Định nghĩa cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi \(q\).
Nghĩa là:
\[ (u_n) \text{ là cấp số nhân} \Leftrightarrow \forall n \ge 2, \, u_n = q \cdot u_{n-1} \]Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân:
\[ q = \frac{u_n}{u_{n-1}} \quad (n \ge 2) \]Trường hợp đặc biệt:
- Khi \(q = 0\), cấp số nhân có dạng: \(u_1, 0, 0, \dots\)
- Khi \(q = 1\), cấp số nhân có dạng: \(u_1, u_1, u_1, \dots\)
- Khi \(u_1 = 0\), cấp số nhân có dạng: \(0, 0, 0, \dots\)
2. Số hạng tổng quát
Định lý: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_1\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) của nó được xác định bởi công thức:
\[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1}, \quad (n \ge 2) \]3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Định lý: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
\[ u_k = \sqrt{u_{k-1} \cdot u_{k+1}} \quad \text{hay} \quad u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1} \quad (k \ge 2) \]Hệ quả: Nếu \(a, b, c\) là ba số khác \(0\), thì ba số \(a, b, c\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi:
\[ ac = b^2 \]4. Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
Định lý: Cho cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q\). Đặt tổng của \(n\) số hạng đầu tiên là:
\[ S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n \]- Nếu \(q = 1\) thì: \[ S_n = n \cdot u_1 \]
- Nếu \(q \ne 1\) thì: \[ S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} \]