Bài viết trình bày kiến thức nền tảng về đa giác có cạnh không tự cắt và mạng lưới điểm nguyên (mạng lưới ô vuông trên mặt phẳng). Nội dung bao gồm khái niệm bao lồi, định lí phân hoạch đa giác thành các tam giác con và công thức tính số lượng tam giác đơn thông qua số điểm nguyên theo định lí Pick.
1. Đa giác có cạnh không tự cắt và tính chất bao lồi
Trong hình học phẳng, một đa giác được gọi là đa giác lồi khi nó nằm hoàn toàn về một phía của đường thẳng đi qua một cạnh bất kì của đa giác.
Nếu trên mặt phẳng cho trước một tập hợp gồm có các điểm phân biệt ( \ge 3 ) thì khi nối các điểm này với nhau bởi các đoạn thẳng, ta thu được một đa giác lồi hoặc một đoạn thẳng bao bọc tất cả các điểm còn lại ở bên trong, gọi là bao lồi của tập hợp điểm.
Ví dụ 1: Trên mặt phẳng cho trước một số điểm không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng luôn tồn tại ba điểm sao cho đường tròn ngoại tiếp của tam giác tạo bởi ba điểm này không chứa bất kì điểm nào đã cho ở bên trong nó.
Nếu trên mặt phẳng cho trước một tập hợp gồm có các điểm phân biệt ( \ge 3 ) thì khi nối các điểm này với nhau bởi các đoạn thẳng, ta thu được một đa giác lồi hoặc một đoạn thẳng bao bọc tất cả các điểm còn lại ở bên trong, gọi là bao lồi của tập hợp điểm.
Ví dụ 1: Trên mặt phẳng cho trước một số điểm không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng luôn tồn tại ba điểm sao cho đường tròn ngoại tiếp của tam giác tạo bởi ba điểm này không chứa bất kì điểm nào đã cho ở bên trong nó.
Chứng minh:
Xét bao lồi của tập hợp các điểm đã cho. Vì có ít nhất ba điểm không thẳng hàng nên bao lồi là một đa giác lồi. Gọi \(AB\) là một cạnh của đa giác lồi này.
Trong số các đỉnh còn lại, chọn điểm \(C\) sao cho góc \(\widehat{ACB}\) lớn nhất. Khi đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) sẽ không chứa bất kì điểm nào đã cho ở bên trong nó.
Xét bao lồi của tập hợp các điểm đã cho. Vì có ít nhất ba điểm không thẳng hàng nên bao lồi là một đa giác lồi. Gọi \(AB\) là một cạnh của đa giác lồi này.
Trong số các đỉnh còn lại, chọn điểm \(C\) sao cho góc \(\widehat{ACB}\) lớn nhất. Khi đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) sẽ không chứa bất kì điểm nào đã cho ở bên trong nó.
2. Định lí phân hoạch đa giác thành các tam giác
Một đa giác được gọi là có cạnh không tự cắt nếu các cạnh của nó đôi một không giao nhau, ngoại trừ các cạnh liên tiếp có thể chung nhau đỉnh mút.
Định lí 1: Trong một đa giác có cạnh không tự cắt luôn tồn tại ít nhất một đường chéo nằm hoàn toàn bên trong nó.
Định lí 1: Trong một đa giác có cạnh không tự cắt luôn tồn tại ít nhất một đường chéo nằm hoàn toàn bên trong nó.
Chứng minh:
Nếu đa giác đã cho là đa giác lồi thì khẳng định hiển nhiên đúng.
Nếu đa giác không phải là đa giác lồi, khi đó tồn tại ít nhất một đỉnh \(A\) có góc trong lớn hơn \(180^\circ\). Từ \(A\), kẻ một tia \(Ax\) cắt biên của đa giác tại một điểm \(M\). Do \(\widehat{A} > 180^\circ\) nên một trong hai cạnh bên của đỉnh \(A\) (chẳng hạn \(AB\)) tạo thành một miền sao cho tia \(Ax\) (từ \(A\) tới \(B\)) không cắt cạnh nào chứa điểm \(M\). Khi cho tia \(Ax\) quay quanh \(A\) theo chiều từ vị trí ban đầu tới vị trí trùng với \(AB\), điểm \(M\) chạy trên biên đa giác và dịch chuyển từ một cạnh sang cạnh khác. Tại thời điểm đó, tia \(Ax\) phải đi qua một đỉnh \(C\) khác \(A\). Đoạn thẳng \(AC\) chính là đường chéo nằm hoàn toàn bên trong đa giác.
Nếu đa giác đã cho là đa giác lồi thì khẳng định hiển nhiên đúng.
Nếu đa giác không phải là đa giác lồi, khi đó tồn tại ít nhất một đỉnh \(A\) có góc trong lớn hơn \(180^\circ\). Từ \(A\), kẻ một tia \(Ax\) cắt biên của đa giác tại một điểm \(M\). Do \(\widehat{A} > 180^\circ\) nên một trong hai cạnh bên của đỉnh \(A\) (chẳng hạn \(AB\)) tạo thành một miền sao cho tia \(Ax\) (từ \(A\) tới \(B\)) không cắt cạnh nào chứa điểm \(M\). Khi cho tia \(Ax\) quay quanh \(A\) theo chiều từ vị trí ban đầu tới vị trí trùng với \(AB\), điểm \(M\) chạy trên biên đa giác và dịch chuyển từ một cạnh sang cạnh khác. Tại thời điểm đó, tia \(Ax\) phải đi qua một đỉnh \(C\) khác \(A\). Đoạn thẳng \(AC\) chính là đường chéo nằm hoàn toàn bên trong đa giác.
Định lí 2: Một \(n\)-giác có cạnh không tự cắt luôn có thể chia thành \(n - 2\) tam giác bởi các đường chéo không cắt nhau và nằm hoàn toàn trong đa giác.
Chứng minh:
Quy nạp theo số đỉnh của đa giác:
- Với \(n = 3\): Khẳng định hiển nhiên đúng.
- Giả sử định lí đúng cho mọi \(k\)-giác có cạnh không tự cắt với \(k \le n\).
- Xét một \((n+1)\)-giác bất kì có cạnh không tự cắt. Theo Định lí 1, tồn tại một đường chéo nằm hoàn toàn bên trong đa giác, chia \((n+1)\)-giác này thành hai đa giác có lần lượt \(k\) và \(\ell\) đỉnh sao cho \(k, \ell \ge 3\) và \(k + \ell = n + 3\).
Theo giả thiết quy nạp, hai đa giác này có thể chia thành \(k - 2\) và \(\ell - 2\) tam giác. Như vậy, \((n+1)\)-giác được chia thành: \[ (k - 2) + (\ell - 2) = k + \ell - 4 = n - 1 \] tam giác bởi các đường chéo không cắt nhau nằm hoàn toàn trong đa giác. Định lí được chứng minh.
Quy nạp theo số đỉnh của đa giác:
- Với \(n = 3\): Khẳng định hiển nhiên đúng.
- Giả sử định lí đúng cho mọi \(k\)-giác có cạnh không tự cắt với \(k \le n\).
- Xét một \((n+1)\)-giác bất kì có cạnh không tự cắt. Theo Định lí 1, tồn tại một đường chéo nằm hoàn toàn bên trong đa giác, chia \((n+1)\)-giác này thành hai đa giác có lần lượt \(k\) và \(\ell\) đỉnh sao cho \(k, \ell \ge 3\) và \(k + \ell = n + 3\).
Theo giả thiết quy nạp, hai đa giác này có thể chia thành \(k - 2\) và \(\ell - 2\) tam giác. Như vậy, \((n+1)\)-giác được chia thành: \[ (k - 2) + (\ell - 2) = k + \ell - 4 = n - 1 \] tam giác bởi các đường chéo không cắt nhau nằm hoàn toàn trong đa giác. Định lí được chứng minh.
3. Phân hoạch tam giác trên mạng lưới ô vuông
Một tam giác có các đỉnh là đỉnh của mạng lưới ô vuông được gọi là tam giác đơn (tam giác nguyên) nếu nó không chứa bất kì đỉnh lưới nào khác trên các cạnh hoặc bên trong nó.
Định lí 3: Cho một \(k\)-giác \(F\) có cạnh không tự cắt, các đỉnh nằm tại các điểm nguyên (nốt lưới ô vuông). Giả sử bên trong đa giác có \(n\) điểm nguyên và trên biên có \(m\) điểm nguyên. Nối các điểm nguyên này với nhau bởi các đoạn thẳng không cắt nhau sao cho toàn bộ đa giác được chia thành các tam giác đơn. Khi đó, số tam giác đơn thu được luôn không đổi và bằng: \[ s = 2n + m - 2 \]
Định lí 3: Cho một \(k\)-giác \(F\) có cạnh không tự cắt, các đỉnh nằm tại các điểm nguyên (nốt lưới ô vuông). Giả sử bên trong đa giác có \(n\) điểm nguyên và trên biên có \(m\) điểm nguyên. Nối các điểm nguyên này với nhau bởi các đoạn thẳng không cắt nhau sao cho toàn bộ đa giác được chia thành các tam giác đơn. Khi đó, số tam giác đơn thu được luôn không đổi và bằng: \[ s = 2n + m - 2 \]
Chứng minh:
Gọi \(s\) là số các tam giác đơn tạo thành. Tổng các góc trong của \(s\) tam giác đơn bằng \(\pi \times s\).
Mặt khác, tổng này bằng tổng các góc quanh các điểm bên trong \(F\) và các điểm trên chu vi của \(F\):
- Đa giác \(F\) có \(k\) đỉnh nên tổng các góc trong của \(F\) là \(\pi \times (k - 2)\).
- Trên biên của \(F\), ngoài \(k\) đỉnh ban đầu còn có \(m - k\) điểm nguyên. Tổng các góc quanh mỗi điểm này là \(\pi\), đóng góp \(\pi \times (m - k)\).
- Quanh mỗi điểm nguyên nằm bên trong \(F\), tổng các góc là \(2\pi\), với \(n\) điểm nguyên bên trong đóng góp \(2\pi \times n\).
Do đó ta có phương trình: \[ \pi \times (k - 2) + \pi \times (m - k) + 2\pi \times n = \pi \times s \] Rút gọn \(\pi\) ở cả hai vế, ta thu được đẳng thức: \[ s = 2n + m - 2 \]
Gọi \(s\) là số các tam giác đơn tạo thành. Tổng các góc trong của \(s\) tam giác đơn bằng \(\pi \times s\).
Mặt khác, tổng này bằng tổng các góc quanh các điểm bên trong \(F\) và các điểm trên chu vi của \(F\):
- Đa giác \(F\) có \(k\) đỉnh nên tổng các góc trong của \(F\) là \(\pi \times (k - 2)\).
- Trên biên của \(F\), ngoài \(k\) đỉnh ban đầu còn có \(m - k\) điểm nguyên. Tổng các góc quanh mỗi điểm này là \(\pi\), đóng góp \(\pi \times (m - k)\).
- Quanh mỗi điểm nguyên nằm bên trong \(F\), tổng các góc là \(2\pi\), với \(n\) điểm nguyên bên trong đóng góp \(2\pi \times n\).
Do đó ta có phương trình: \[ \pi \times (k - 2) + \pi \times (m - k) + 2\pi \times n = \pi \times s \] Rút gọn \(\pi\) ở cả hai vế, ta thu được đẳng thức: \[ s = 2n + m - 2 \]
Xem và tải file PDF đầy đủ
Bài viết trình bày kiến thức nền tảng về đa giác có cạnh không tự cắt và mạng lưới điểm nguyên (mạng lưới ô vuông trên mặt phẳng). Nội dung bao gồm khái niệm bao lồi, định lí phân hoạch đa giác thành các tam giác con và công thức tính số lượng tam …