Tóm tắt đề thi: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp xã Phúc Thịnh năm học 2026 – 2027 gồm 5 bài toán tự luận với thời gian làm bài 150 phút. Cấu trúc đề bao gồm các chủ đề trọng tâm: biến đổi căn thức và số hữu tỉ, phương trình nghiệm nguyên, hệ phương trình, đa thức, bất đẳng thức – cực trị, các bài toán hình học phẳng về tam giác đồng dạng và bài toán số học dạng bất biến trên bảng số.
Bài 1 (5,0 điểm)
1. Cho \(a, b, c\) là các số hữu tỉ thỏa mãn \(ab + bc + ca = 2026\). Chứng minh rằng \(\sqrt{(a^2 + 2026)(b^2 + 2026)(c^2 + 2026)}\) là một số hữu tỉ.
2. Cho \(a, b, c\) là các số khác 0 thỏa mãn điều kiện: \[(ab + bc + ca)^2 = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2\] Chứng minh rằng \(a^3 + b^3 + c^3\) chia hết cho 3.
3. Tính \(a + b\) biết: \[(a + \sqrt{a^2 + 2026})(b + \sqrt{b^2 + 2026}) = 2026\]
Bài 2 (5,0 điểm)
1. Cho đa thức \(Q(x) = P(x) - 14x\) với \(P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\). Biết \(Q(1) = Q(2) = 0\). Tính \(P(4) - P(-1)\).
2. Giải hệ phương trình: \[\begin{cases} 3x^2 + 4y^2 = 20 - 2xy \\ (x - y)(4x^2 + 5y^2 - 20) = 1 \end{cases}\]
3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \[x^2 + 2y^2 + 2xy + 3y - 4 = 0\]
Bài 3 (2,0 điểm)
Cho \(a, b > 0\) và \(a + b \ge 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[P = 3a + 2b + \frac{6}{a} + \frac{8}{b}\]
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AC > AB\)), các đường cao \(AD, BE, CF\), trực tâm \(H\). Điểm \(I\) nằm giữa \(B\) và \(C\) sao cho \(IB = 2IC\). Qua \(A\) vẽ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AI\). Gọi \(Q\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và \(CH\), \(G\) là điểm trên tia \(CH\) sao cho \(Q\) là trung điểm của \(GH\). Gọi \(J\) là giao điểm của \(AG\) và \(BH\).
1. Chứng minh \(\Delta QAH\) đồng dạng với \(\Delta AIB\).
2. Gọi \(K\) là trung điểm của \(BI\). Chứng minh \(\Delta AHG\) đồng dạng với \(\Delta KBA\) và \(AG = 2AJ\).
3. Giả sử tam giác \(ABC\) cân tại \(C\). Gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(EF\) và đường thẳng \(BC\). Chứng minh rằng: \[CE \cdot CN - FE \cdot FN = CF^2\]
Bài 5 (1,0 điểm)
Viết lên bảng các số \(3, 4, 5, 6\). Mỗi lần ta được phép xoá hai số \(x, y\) phân biệt trên bảng rồi thay bởi hai số: \(x + y - \sqrt{x^2 + y^2}\) và \(x + y + \sqrt{x^2 + y^2}\). Chứng minh rằng không có thời điểm nào mà trên bảng xuất hiện một số nhỏ hơn 1.