Chủ đề: Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỉ nâng cao. Bài viết hướng dẫn chi tiết phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác khi gặp các biểu thức chứa căn thức có điều kiện đặc trưng như \(|x| \le a\) hoặc \(|x| > a\) kèm theo các ví dụ minh họa minh bạch.
1. Phương pháp lượng giác hóa khi \(|x| \le a\)
Nếu phương trình có điều kiện hoặc chứa miền xác định \(|x| \le a\), ta có thể sử dụng phép đổi biến lượng giác như sau:
\[x = a \sin t, \quad t \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] \quad \text{hoặc} \quad x = a \cos t, \quad t \in [0; \pi]\]Ví dụ 1: Giải phương trình: \(\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}} = x(1 + 2\sqrt{1-x^2})\)
Lời giải:
Điều kiện: \(|x| \le 1\). Đặt \(x = \sin t\), với \(t \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\). Phương trình đã cho trở thành:
\[\sqrt{1+\cos t} = \sin t (1 + 2\cos t) \Leftrightarrow \sqrt{2}\cos\frac{t}{2} = \sin t + \sin 2t = 2\sin\frac{3t}{2}\cos\frac{t}{2}\]\[\Leftrightarrow \cos\frac{t}{2}\left(2\sin\frac{3t}{2} - 1\right) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos\frac{t}{2} = 0\\ \sin\frac{3t}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t = \pi + k2\pi\\ t = \frac{\pi}{6} + k\frac{4\pi}{3}\\ t = \frac{5\pi}{6} + k\frac{4\pi}{3}\end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})\]Kết hợp với điều kiện của \(t\), suy ra: \(t = \frac{\pi}{6}\).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: \(x = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\).
Ví dụ 2: Giải phương trình: \(\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left[\sqrt{(1+x)^3} - \sqrt{(1-x)^3}\right] = \frac{2}{\sqrt{3}} + \sqrt{\frac{1-x^2}{3}}\)
Lời giải:
Điều kiện: \(|x| \le 1\). Nhận xét vế phải \(\text{VP} > 0\).
Nếu \(x \in [-1; 0]\) thì \(\sqrt{(1+x)^3} - \sqrt{(1-x)^3} \le 0\) (không thỏa mãn).
Nếu \(x \in [0; 1]\) thì \(\sqrt{(1+x)^3} - \sqrt{(1-x)^3} \ge 0\).
Đặt \(x = \cos t\), với \(t \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]\), ta có:
\[2\sqrt{6}\left(\sin\frac{t}{2} + \cos\frac{t}{2}\right)\left(\cos^3\frac{t}{2} - \sin^3\frac{t}{2}\right) = 2 + \sin t \Leftrightarrow 2\sqrt{6}\cos t\left(1 + \frac{1}{2}\sin t\right) = 2 + \sin t\]\[\Leftrightarrow (\sqrt{6}\cos t - 1)(2 + \sin t) = 0 \Leftrightarrow \cos t = \frac{1}{\sqrt{6}}\]Vậy phương trình có nghiệm: \(x = \frac{1}{\sqrt{6}}\).
Ví dụ 3: Giải phương trình: \(\sqrt{1-2x} + \sqrt{1+2x} = \sqrt{\frac{1-2x}{1+2x}} + \sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}}\)
Lời giải:
Điều kiện: \(|x| < \frac{1}{2}\). Đặt \(2x = \cos t\), với \(t \in (0; \pi)\). Phương trình trở thành:
\[\sqrt{2}\left(\sin\frac{t}{2} + \cos\frac{t}{2}\right) = \tan\frac{t}{2} + \cot\frac{t}{2} \Leftrightarrow 2(1+\sin t) = \frac{4}{\sin^2 t}\]\[\Leftrightarrow \sin^3 t + \sin^2 t - 2 = 0 \Leftrightarrow \cos t = 0\]Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: \(x = 0\).
Ví dụ 4: Giải phương trình: \(x^3 - 3x = \sqrt{x+2}\) (1)
Lời giải:
Nếu \(x < -2\) thì phương trình không xác định.
Chú ý với \(x > 2\) ta có: \(x^3 - 3x = x + x(x^2 - 4) > x > \sqrt{x+2}\) (phương trình vô nghiệm).
Vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với \(x \in [-2; 2]\). Đặt \(x = 2\cos t\), với \(t \in [0; \pi]\).
Khi đó phương trình trở thành: \(\cos 3t = \cos\frac{t}{2} \Leftrightarrow -2\sin\frac{7t}{4}\sin\frac{5t}{4} = 0\)
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sin\frac{7t}{4} = 0\\ \sin\frac{5t}{4} = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t = \frac{k4\pi}{7}\\ t = \frac{k4\pi}{5}\end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})\]Kết hợp với điều kiện của \(t\) ta có: \(t = 0\); \(t = \frac{4\pi}{7}\); \(t = \frac{4\pi}{5}\).
Vậy phương trình (1) có ba nghiệm: \(x = 2\); \(x = 2\cos\frac{4\pi}{7}\); \(x = 2\cos\frac{4\pi}{5}\).
2. Phương pháp lượng giác hóa khi \(|x| > a\)
Nếu điều kiện là \(|x| > a\), ta có thể thực hiện đặt ẩn phụ dạng:
\[x = \frac{a}{\sin t}, \quad t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) \setminus \{0\} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{a}{\cos t}, \quad t \in (0; \pi) \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\}\]Ví dụ 5: Giải phương trình: \(x^2\left(1 + \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right) = 1\)
Lời giải:
Điều kiện: \(|x| > 1\). Đặt \(x = \frac{1}{\sin t}\), với \(t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) \setminus \{0\}\).
Phương trình đã cho trở thành:
\[\frac{1}{\sin^2 t}(1 + \cot t) = 1 \Leftrightarrow -\cos^2 t = \cot t \Leftrightarrow \cos t\left(\cos t + \frac{1}{\sin t}\right) = 0\]\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos t = 0\\ \sin 2t = -1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t = \frac{\pi}{2} + k\pi\\ t = -\frac{\pi}{12} + k\pi\\ t = \frac{7\pi}{12} + k\pi\end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})\]Kết hợp với điều kiện của \(t\) suy ra: \(t = -\frac{\pi}{12}\).
Vậy phương trình có một nghiệm: \(x = \frac{1}{\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)} = -\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)\).
Dạng tổng quát: Giải phương trình \(x^2\left(a + \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right) = a\) bằng cách đặt \(x = \frac{1}{\sin t}\) hoặc \(x = \frac{a}{\cos t}\).