TỔNG QUAN CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ
Trong chương trình Toán THPT, các bài toán liên quan đến dãy số là một nội dung trọng tâm và then chốt của phân môn Đại số & Giải tích lớp 11. Việc xác định công thức số hạng tổng quát (\(u_n\)) giữ vai trò cốt lõi, là chìa khóa mở đường cho việc giải quyết các bài toán về giới hạn, tính tổng, chứng minh bất đẳng thức hay tính chất số học liên quan.
Chuyên đề tập trung khai thác có hệ thống các phương pháp tiêu biểu:
- Phần I: Vận dụng Cấp số cộng (CSC) – Cấp số nhân (CSN) để thiết lập công thức tổng quát cho các dạng truy hồi đặc biệt.
- Phần II: Kỹ thuật lượng giác hóa xác định số hạng tổng quát.
- Phần III: Ứng dụng công thức tổng quát của dãy số giải quyết các bài toán liên môn và bài toán tổ hợp.
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG TRUY HỒI ĐẶC BIỆT
Phương pháp này được xây dựng dựa trên nền tảng các tính chất cơ bản của cấp số cộng, cấp số nhân kết hợp với phương pháp đổi biến, chọn hệ số bất định thích hợp.
1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân
1.1. Cấp số cộng (CSC)
Định nghĩa: Dãy số \((u_n)\) được gọi là cấp số cộng nếu thỏa mãn điều kiện: \[ u_n = u_{n-1} + d, \quad \forall n \ge 2 \] trong đó \(d\) là một hằng số thực không đổi gọi là công sai; \(u_1\) là số hạng đầu, \(u_n\) là số hạng thứ \(n\).
Định lí 1: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\). Công thức số hạng tổng quát là: \[ u_n = u_1 + (n - 1)d \quad (1) \]
Định lí 2: Gọi \(S_n\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng \((u_n)\). Khi đó: \[ S_n = \frac{n}{2}\left[2u_1 + (n - 1)d\right] \quad (2) \]
1.2. Cấp số nhân (CSN)
Định nghĩa: Dãy số \((u_n)\) được gọi là cấp số nhân với công bội \(q\) nếu thỏa mãn tính chất: \[ u_{n+1} = q \cdot u_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \]
Định lí 3: Cho cấp số nhân \((u_n)\) có công bội \(q\). Số hạng tổng quát được xác định bởi: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \quad (3) \]
Định lí 4: Gọi \(S_n\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q \ne 1\). Ta có: \[ S_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (4) \]