Tóm tắt nội dung: Trong lịch sử toán học, khái niệm logarit ra đời trước khái niệm lũy thừa với số mũ thực hơn một thế kỷ. Bài viết này trình bày hành trình lịch sử hình thành nên phép toán logarit, giải thích bản chất việc biến phép nhân thành phép cộng từ ý tưởng cấp số của Archimedes, Stifel, phương pháp biến đổi lượng giác cho đến định nghĩa của John Napier năm 1614.
1. Mầm mống: Hai dãy số song song (Archimedes, Stifel)
Ý tưởng cốt lõi của logarit đã xuất hiện từ thời cổ đại. Trong tác phẩm Người đếm cát, nhà bác học Archimedes (thế kỷ III TCN) nhận thấy rằng khi nhân các số có dạng lũy thừa của 10 thì các chỉ số "bậc" của chúng được cộng lại với nhau, ngày nay viết là: \[10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}\]
Đến năm 1544, nhà toán học Đức Michael Stifel đã thể hiện rõ ràng hơn tư tưởng này trong cuốn Arithmetica integra bằng việc xếp dãy cấp số cộng song song với dãy cấp số nhân:
- Dãy cấp số cộng: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
- Dãy cấp số nhân: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...
Stifel chỉ ra rằng phép nhân hai số ở dòng dưới tương ứng với phép cộng hai số ở dòng trên. Ví dụ: Để tính \(8 \times 32\), ta lấy hai số tương ứng ở dòng trên cộng lại \(3 + 5 = 8\), sau đó dóng xuống dòng dưới thu được kết quả là \(256\).
Nhược điểm: Bảng số của Stifel có khoảng cách giữa các số ở dòng dưới quá lớn. Để nhân các số lẻ như \(7 \times 13\), người ta cần một cấp số nhân có công bội cực kỳ gần 1.
2. Phương pháp nhân bằng lượng giác (Prosthaphaeresis)
Trong khoảng năm 1580–1590, trước khi Napier công bố logarit, các nhà thiên văn học đã áp dụng thuật toán prosthaphaeresis (tiếng Hi Lạp có nghĩa là "cộng và trừ") dựa trên công thức tích thành tổng để đổi phép nhân thành phép cộng: \[\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]\]
Ví dụ: Để tính tích \(0{,}17365 \times 0{,}99027\), người ta tra bảng lượng giác được \(0{,}17365 = \sin 10^\circ\) và \(0{,}99027 = \cos 8^\circ\). Do đó: \[\frac{1}{2} (\sin 18^\circ + \sin 2^\circ) = \frac{1}{2} (0{,}30902 + 0{,}03490) = 0{,}17196\]
Phương pháp này tuy giảm tải bớt khối lượng tính toán nhưng vẫn phức tạp khi thực hiện phép chia hoặc phép khai căn.
3. John Napier và định nghĩa Logarit qua chuyển động cơ học (1614)
Nhà toán học John Napier (1550–1617) đã mô hình hóa logarit dựa trên sự chuyển động của hai điểm:
- Điểm \(B\) chuyển động đều trên một tia vô hạn xuất phát từ \(A\). Quãng đường tạo thành một cấp số cộng.
- Điểm \(b\) chuyển động trên đoạn thẳng \(az\) có độ dài \(10^7\), vận tốc tại mỗi thời điểm tỷ lệ thuận với khoảng cách còn lại tới \(z\). Khoảng cách còn lại giảm theo một cấp số nhân.
Napier định nghĩa logarit của độ dài đoạn còn lại \(x\) chính là độ dài quãng đường mà điểm \(B\) đã đi được. Dưới góc nhìn toán học hiện đại, hàm logarit của Napier được biểu diễn là: \[\text{NapLog}(x) = 10^7 \ln \left(\frac{10^7}{x}\right)\]
Hàm số này thỏa mãn tính chất biến phép nhân thành phép cộng: \[\text{NapLog}(x) + \text{NapLog}(y) = \text{NapLog}\left(\frac{xy}{10^7}\right)\]