Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức về Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất trong chương trình Toán học. Bao gồm các định nghĩa nền tảng về phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, phân loại các biến cố phổ biến và các công thức, quy tắc tính xác suất cơ bản.
1. Biến cố
1.1. Định nghĩa
- Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện.
- Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể khi thực hiện phép thử, kí hiệu là \(\Omega\).
- Biến cố \(E\) là một tập con của không gian mẫu \(\Omega\).
- Kết quả thuận lợi cho một biến cố \(E\) liên quan đến phép thử \(T\) là kết quả của phép thử \(T\) làm cho biến cố đó xảy ra.
1.2. Các biến cố thường gặp
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó:
- Biến cố đối của biến cố \(A\) là biến cố "\(A\) không xảy ra", kí hiệu là \(\overline{A}\).
- Biến cố giao của hai biến cố \(A\) và \(B\) là biến cố "\(A\) và \(B\) cùng xảy ra", kí hiệu là \(A \cap B\) (hay \(AB\)).
- Biến cố hợp của hai biến cố \(A\) và \(B\) là biến cố "\(A\) hoặc \(B\) xảy ra", kí hiệu là \(A \cup B\).
- Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là xung khắc với nhau nếu biến cố \(A\) xảy ra thì biến cố \(B\) không xảy ra và ngược lại. Khi đó \(A \cap B = \emptyset\).
- Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra của \(A\) không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra của \(B\).
2. Định nghĩa cổ điển của xác suất
2.1. Định nghĩa
Cho phép thử \(T\) có không gian mẫu là \(\Omega\). Giả sử các kết quả có thể của \(T\) là đồng khả năng. Nếu \(E\) là một biến cố liên quan đến phép thử \(T\) thì xác suất của \(E\) được cho bởi công thức:
\[P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}\]trong đó \(n(E)\) và \(n(\Omega)\) tương ứng là số phần tử của biến cố \(E\) và không gian mẫu \(\Omega\).
2.2. Các quy tắc tính xác suất
- \(P(\emptyset) = 0\) và \(P(\Omega) = 1\).
- \(0 \le P(A) \le 1\).
- Cho biến cố \(A\). Xác suất của biến cố đối \(\overline{A}\) của \(A\) là: \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\).
- Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kì, khi đó: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\]
- Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc thì: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
- Hai biến cố \(AB\) và \(A\overline{B}\) xung khắc với nhau khi đó: \[P(A\overline{B}) + P(AB) = P(A)\]
- Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì: \[P(AB) = P(A) \cdot P(B)\]