ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1: (6,0 điểm)
a) (2,5 điểm) Cho hai số nguyên dương \(u, v\) nguyên tố cùng nhau. Chứng minh mọi ước nguyên tố \(q > 3\) của \(A = u^2 - uv + v^2\) đều có dạng \(6k + 1, k \in \mathbb{N}^*\).
b) (3,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x, y)\), với \((x, 70) = 1\), thỏa mãn phương trình sau:
\[x^6 + 70^6 = 2089^y - 62^y.\]Câu 2: (7,0 điểm)
Cho dãy số \((u_n)\) được xác định bởi:
\[\begin{cases} u_1 = 3, \\ u_{n+1} = \dfrac{2(n+1)u_n - n - 2}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*. \end{cases}\]a) (3,0 điểm) Tính \(\lim \left( \dfrac{u_n}{n} - 2^n \right)\).
b) (4,0 điểm) Có hay không số \(i \in \mathbb{N}^*\) sao cho \(u_i u_{i+1} = m \cdot 2027^2\) với \(m\) là một số nguyên dương? Tại sao?
Câu 3: (7,0 điểm)
a) (3,0 điểm) Cho \(A\) là bảng các ô vuông có kích thước \(2026 \times 2026\). Điền vào mỗi ô của bảng \(A\) một số thuộc tập hợp \(M = \{-1; 0; 1\}\). Có bao nhiêu cách điền sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng vuông con \(2 \times 2\) bất kì đều bằng 0?
b) (4,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tập hợp \(S\) gồm 62 điểm phân biệt có tọa độ nguyên sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Với mỗi cặp điểm phân biệt \(A(x_A, y_A)\) và \(B(x_B, y_B)\) thuộc \(S\), ta xét đại lượng:
\[T(A, B) = (x_A - x_B)^2 + 70(y_A - y_B)^2.\]Hai điểm \(A, B\) được gọi là "liên kết" với nhau nếu \(T(A, B)\) chia hết cho 3.
Chứng minh tồn tại một tam giác có ba đỉnh thuộc \(S\), đôi một "liên kết" với nhau mà diện tích là một số nguyên chia hết cho 9.