1. Các dạng bài toán cực trị liên quan đến điểm và mặt phẳng
Dạng 1: Cho mặt phẳng \((P)\) và hai điểm \(A, B\). Tìm \(M \in (P)\) để \(MA + MB\) nhỏ nhất.
- Nếu \(A, B\) trái phía đối với \((P)\):
\(MA + MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M, A, B\) thẳng hàng. Khi đó \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(AB\) với mặt phẳng \((P)\). - Nếu \(A, B\) cùng phía đối với \((P)\):
+ Bước 1: Tìm tọa độ điểm \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \((P)\).
+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(M = A'B \cap (P)\).
Dạng 2: Cho mặt phẳng \((P)\) và hai điểm \(A, B\). Tìm \(M \in (P)\) để \(|MA - MB|\) lớn nhất.
- Nếu \(A, B\) cùng phía đối với \((P)\):
\(|MA - MB|\) lớn nhất \(\Leftrightarrow M, A, B\) thẳng hàng \(\Leftrightarrow M = AB \cap (P)\). - Nếu \(A, B\) trái phía đối với \((P)\):
+ Bước 1: Tìm tọa độ điểm \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \((P)\).
+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(M = A'B \cap (P)\).
Dạng 3: Cho \(M(x_0; y_0; z_0)\) sao cho \(x_0 \cdot y_0 \cdot z_0 \neq 0\). Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) và cắt ba trục tọa độ tại ba điểm \(A, B, C\) sao cho \(V_{OABC}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Công thức: \[(P): \frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z}{z_0} = 3\]
2. Viết phương trình mặt phẳng và đường thẳng thỏa mãn điều kiện cực trị
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ \(M \notin d\) đến \((P)\) lớn nhất.
- Tính chất: \(MH \le ME\) với \(E\) và \(H\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(d\) và \((P)\).
- Công thức: Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A \in d\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_P = \vec{ME}\).
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và cách \(M\) một khoảng lớn nhất.
- Tính chất: \(MH \le MA\), với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \((P)\).
- Công thức: \((P)\) đi qua \(A\) và có \(\vec{n}_P = \vec{AM}\).
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa đường thẳng \(d\) sao cho \((P)\) tạo với đường thẳng \(\Delta\) (không song song với \(d\)) một góc lớn nhất.
- Công thức: \((P)\) qua \(A \in d\) và có \(\vec{n}_P = [\vec{u}_d, \vec{u}_\Delta]\).
Dạng 7: Cho \(A \notin (P)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho \(d // \Delta\) và cách \(A\) một khoảng nhỏ nhất.
- Cách làm: Lấy điểm \(A \in \Delta\) và hạ hình chiếu vuông góc của \(A\) là \(A'\) lên \((P)\). Khi đó, \(d\) đi qua \(A'\) và có \(\vec{u}_d = \vec{u}_\Delta\).
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và nằm trong mặt phẳng \((P)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) tới đường thẳng \(d\) là lớn nhất (\(AM\) không vuông góc với \((P)\)).
- Tính chất: Khoảng cách luôn \(\le MA\).
- Công thức: \(d\) đi qua \(M\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u}_d = [\vec{n}_P, \vec{AM}]\).