Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2026-2027
Môn thi: Toán (Ngày thi thứ nhất - 18/09/2026)
Đơn vị tổ chức: Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ
Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 03 câu, 01 trang)
NỘI DUNG ĐỀ THI
Câu 1 (7,0 điểm). Cho đa thức \(P_n(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0\) với \(n \in \mathbb{N}, n \ge 3\), \(a_0, a_1, \dots, a_{n-1}\) là các số nguyên và \(P_n(x)\) có \(n\) nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng.
a) Với \(n = 4\), chứng minh rằng đa thức \(P_4'(x)\) có ba nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng.
b) Chứng minh rằng đa thức \(P_n(x)\) luôn phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.
Câu 2 (7,0 điểm). Cho \(n \in \mathbb{N}, n \ge 1\), số nguyên dương \(k\) được gọi là một số \(n-\text{tốt}\), nếu tồn tại \(a \in \{1; 2; 3; \dots; 2026\}\) để \(k\) là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn số hữu tỉ \[ \frac{10^k - 1}{n \cdot a} \] là số thập phân hữu hạn.
a) Chứng minh rằng \(k = 6\) là một số \(18-\text{tốt}\).
b) Gọi \(S(n)\) là tập hợp các số \(n-\text{tốt}\). Tìm giá trị lớn nhất \(|S(n)|\) (ký hiệu \(|S|\) là số phần tử của tập hợp \(S\)).
Câu 3 (6,0 điểm). Cho tứ giác lồi \(ABCD\) có hai cạnh \(AD\) và \(BC\) không song song. Giả sử hai đường tròn có đường kính \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại các điểm \(E\) và \(F\) nằm bên trong tứ giác. Gọi \(\omega_E\) là đường tròn đi qua chân các đường vuông góc từ \(E\) đến các đoạn thẳng \(AB, BC, CD\). Gọi \(\omega_F\) là đường tròn đi qua chân các đường vuông góc từ \(F\) đến các đoạn thẳng \(CD, DA, AB\).
a) Chứng minh \(\omega_E\) đi qua chân đường vuông góc của \(E\) lên \(DA\).
b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng \(EF\) nằm trên đường thẳng đi qua hai giao điểm của \(\omega_E\) và \(\omega_F\).