ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (NGÀY THI THỨ HAI)
Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân nội tiếp đường tròn \((O)\), đường phân giác trong \(AD\) (\(D \in BC\)), điểm \(P\) thuộc đoạn \(AD\) (\(P \neq A, P \neq D\)). Gọi \(X, Y, Z\) tương ứng là hình chiếu vuông góc của \(P\) lên ba cạnh \(BC, CA, AB\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(XYZ\) cắt lại \(BC\) tại điểm \(X'\) khác \(X\).
a) Chứng minh rằng \(AX', BY, CZ\) đồng quy.
b) Gọi \(M, N\) là giao điểm của \(YZ\) với đường tròn \((O)\) (\(M, Y, Z, N\) thẳng hàng theo thứ tự trên). Gọi \(S\) là giao điểm hai tiếp tuyến tại \(B, C\) của \((O)\), \(AP\) cắt lại \((O)\) tại điểm \(T\) khác \(A\). Chứng minh rằng \(SP, ST\) đẳng giác góc \(\widehat{MSN}\) và \(SP\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(PMN\).
Câu 5 (7,0 điểm). Cho tập hợp \(S = \{1; 2; 3; \dots; 2025; 2026\}\).
a) Có bao nhiêu tập con khác rỗng của \(S\) thỏa mãn tổng các phần tử của tập con đó chia hết cho 4.
b) Xét \(n\) (\(n \in \mathbb{N}, n \ge 2\)) tập hợp con \(S_1, S_2, \dots, S_n\) của \(S\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
- \(S_i \neq \emptyset\) với \(i = 1, 2, \dots, n\).
- \(|S_i \setminus S_j| \neq 0, \forall i \neq j, 1 \le i, j \le n\).
- \(|S_i| \neq |S_j|, \forall i \neq j, 1 \le i, j \le n\).
Tìm giá trị lớn nhất của \(n\) (ký hiệu \(|S|\) là số phần tử của tập hợp \(S\)).
Câu 6 (6,0 điểm). Với số thực \(k\), xét các hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn
\[f(f(x)+y) = kx + f(x + f(f(y))), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.\]Tìm tất cả các giá trị của \(k\) để tồn tại hàm số \(f\) thỏa mãn điều kiện bài toán.