- Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2025-2026 gồm các bài toán phân loại cao.
- Đại số & Số học: Rút gọn biểu thức chứa căn thức, tính giá trị biểu thức đối xứng, giải hệ phương trình phi tuyến, tìm nghiệm nguyên dương và chứng minh bất đẳng thức chia hết.
- Xác suất: Tính xác suất chọn bi khác màu và khác số.
- Toán thực tế: Tính bán kính đường ray vòng cung dựa trên các kích thước cho trước.
Nội dung đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9 (Trang 1)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức:
\[ A = \left( \frac{10x + 4}{5\sqrt{5}x^3 - 8} - \frac{\sqrt{5}x}{5x + 2\sqrt{5}x + 4} \right) \left( \frac{1 + 5\sqrt{5}x^3}{1 + \sqrt{5}x} - \sqrt{5}x \right) \left( \frac{6\sqrt{5}x - 3}{\sqrt{5}x - 1} - 6 \right) \]với \( x \ge 0; x \ne \frac{1}{5}; x \ne \frac{4}{5} \). Tìm các số tự nhiên \( x \) lớn hơn 10 để \( P > \frac{7}{2} \).
Câu 2 (2,0 điểm). Cho các số thực \( x, y, z \) thỏa mãn điều kiện: \( x + y + z = 3 \); \( xyz = -2 \); \( x^2 + y^2 + z^2 = 5 \). Tính giá trị biểu thức:
\[ S = \frac{x}{x^2 - x - 1} + \frac{y}{y^2 - y - 1} + \frac{z}{z^2 - z - 1} \]Câu 3 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases} x^2 y^2 + 3x + 3y - 3 = 0 \\ x^2 y - 4xy - 3y^2 + 2y - x + 1 = 0 \end{cases} \]Câu 4 (2,0 điểm). Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số.
Câu 5 (2,0 điểm). Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:
\[ (x + y)^2 + y + 3x = z^2 + 1 \]Câu 6 (2,0 điểm). Cho \( a, b \in \mathbb{Z} \) và \( a \ne b \) thỏa mãn \( ab(a + b) \) chia hết cho \( a^2 + ab + b^2 \). Chứng minh rằng:
\[ |a - b| > \sqrt[3]{ab} \]Câu 7 (1,5 điểm). Để giúp xe lửa chuyển từ một đường ray từ hướng này sang một đường ray theo hướng khác, người ta làm xen giữa một đoạn đường ray hình vòng cung. Biết chiều rộng của đường ray là \( AB \approx 1{,}1\text{m} \), đoạn \( BC \approx 28{,}4\text{m} \). Hãy tính bán kính \( OA = R \) của đoạn đường ray hình vòng cung.