ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1: (5,00 điểm)
a) Giải phương trình: \(4x^4 + 8x^3 - 3x^2 - \frac{13}{2}x - 1 = 0\).
b) Cho tam giác \(ABC\) không cân. Gọi \(A, B, C\) là số đo theo đơn vị radian của các góc đỉnh \(A, B, C\). Ta ký hiệu \(BC = a, CA = b, AB = c\). Chứng minh:
\[\frac{A \sin A + B \sin B}{\sin A + \sin B} + \frac{B \sin B + C \sin C}{\sin B + \sin C} + \frac{C \sin C + A \sin A}{\sin C + \sin A} > \pi\]Câu 2: (3,00 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của số \(m\) để tồn tại duy nhất cặp số \((x, y)\) thỏa mãn:
\[\begin{cases} x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0 \\ \log_{x^2 + y^2 + 2}(4x + 4y - 6 + m^2) \ge 1 \end{cases}\]Câu 3: (2,00 điểm)
Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn điều kiện \(x \ge \max\{|y|, |z|\}\). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[P(x, y, z) = \frac{x}{y} + 2\sqrt{1 + \frac{y}{z}} + 3\sqrt[3]{1 + \frac{z}{x}}\]Câu 4: (5,00 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) và \(D, E, F\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB, BC, CA\). Tia phân giác của góc \(\widehat{ADC}\) cắt \(AC\) tại \(N\), tia phân giác của góc \(\widehat{BDC}\) cắt \(BC\) tại \(M\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(MN\) và \(CD\), hai đường thẳng \(OE\) và \(AC\) cắt nhau tại \(P\), hai đường thẳng \(OF\) và \(BC\) cắt nhau tại \(Q\). Chứng minh:
\[\frac{1}{EF} + \frac{1}{DC} = \frac{2}{MN} \quad \text{và} \quad CD = PQ\]Câu 5: (5,00 điểm)
Cho dãy số nguyên dương \((u_n)\) không là dãy hằng và thỏa mãn \((u_m - u_n)\) chia hết cho \((m - n)\), với mọi số nguyên dương \(m, n\) phân biệt. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên tố xuất hiện trong các phân tích thừa số nguyên tố của các số hạng của dãy số \((u_n)\) là vô hạn.