ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Câu 1 (3,5 điểm).
a) Tìm các cặp số nguyên \((x; y)\) thỏa mãn phương trình: \(x^2 + 2y^2 + 2xy + y = 2\).
b) Tìm toàn bộ các số tự nhiên \(n\) để giá trị của biểu thức \((n^2 - 8)^2 + 36\) là một số nguyên tố.
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình trên tập số thực: \((2x-5)^3 + (2-x)^3 = (x-3)^3 + (x-3)(7x^2 - 2053x + 2055)\).
b) Cho đa thức \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) với \(a, b, c \in \mathbb{R}\). Biết rằng khi chia \(f(x)\) cho \(x + 1\) thì được số dư là \(-2\), và khi chia \(f(x)\) cho \(x - 2\) thì được số dư là \(7\). Hãy tính giá trị biểu thức: \(P = (2025a + 2023b + c)^{2025} + 1\).
Câu 3 (4,5 điểm).
a) Một chiếc túi chứa 48 viên bi đồng chất gồm hai màu xanh và đỏ. Rút ngẫu nhiên một viên bi từ túi. Biết xác suất lấy được viên bi màu đỏ bằng 92% xác suất lấy được viên bi màu xanh. Hỏi trong túi có bao nhiêu viên bi mỗi loại?
b) Một cơ sở kinh doanh máy tính nhập vào mỗi chiếc với giá 23 triệu đồng và bán ra với giá 27 triệu đồng. Với mức giá này, sản lượng tiêu thụ dự kiến là 600 chiếc/năm. Để kích cầu, cơ sở dự định giảm giá bán: ước tính cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng máy bán ra trong năm tăng thêm 20 chiếc. Hỏi cơ sở nên niêm yết giá bán mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận năm lớn nhất?
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có ba đường cao \(AD, BE, CF\) đồng quy tại trực tâm \(H\).
a) Chứng minh đẳng thức: \(AD = HD \cdot \tan \widehat{ABC} \cdot \tan \widehat{ACB}\).
b) Chứng minh tỉ số: \(\frac{AE \cdot BF}{DE \cdot EF} = \frac{FD}{CD}\).
c) Lấy điểm \(K\) thuộc tia đối của tia \(DH\) sao cho \(DK = DH\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(DE\) và \(KC\). Chứng minh rằng \(\widehat{BMN} = 90^\circ\).