Tóm tắt nội dung: Tài liệu là trang 1 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán cấp THCS năm học 2025 - 2026 do Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa tổ chức. Đề thi gồm các bài toán thuộc các chủ đề: rút gọn biểu thức chứa căn, đa thức, hệ phương trình, xác suất tổ hợp, số học (số chính phương), bài toán thực tế lập phương trình - hình học tối ưu và bài tập hình học phẳng nâng cao.
NỘI DUNG ĐỀ THI (TRANG 1)
Câu 1 (2,0 điểm): Rút gọn biểu thức:
\[ M = \left( \frac{x+2\sqrt{x}+4}{x\sqrt{x}-8} + \frac{x+2\sqrt{x}+1}{x-1} \right) : \left( \frac{3\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-2} + \frac{2\sqrt{x}+10}{x+6\sqrt{x}+5} \right) \]với \(x \ge 0; x \ne 1, 3, 4\).
Câu 2 (2,0 điểm): Cho đa thức \(P(x) = x^3 + 6x^2 + ax + b\) với \(a, b\) là các số hữu tỉ, thỏa mãn \(P(1-\sqrt{3}) = 0\). Tính giá trị của biểu thức:
\[ Q = 17 \cdot P(3) + 12 \cdot P(2) + 2025(a+b+35)^{2026} + 54 \]Câu 3 (2,0 điểm): Giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases} y\sqrt{x-2} + y^2 = x - 1 \\ 3y\sqrt{x-2} - 2\sqrt{(x-2)(2y-1)} = x - 2y \end{cases} \]Câu 4 (2,0 điểm): Gọi \(X\) là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt được tạo thành từ các chữ số \(1; 2; 3; 4; 5\). Chọn ngẫu nhiên một số từ \(X\). Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn \(45000\).
Câu 5 (2,0 điểm): Cho các số tự nhiên \(a, b, c\) thỏa mãn: \(ab^2 + b = (a+1)c^2 + c\). Chứng minh rằng biểu thức \(ab + ac + 1\) là một số chính phương.
Câu 6 (1,5 điểm): Ba xe ô tô xuất phát đồng thời từ địa điểm \(A\) đến địa điểm \(B\). Mỗi giờ, xe thứ nhất đi nhanh hơn xe thứ hai \(15\text{ km}\) và đi nhanh hơn xe thứ ba \(5\text{ km}\). Biết rằng xe thứ hai tới \(B\) chậm hơn xe thứ nhất \(28\text{ phút}\), và chậm hơn xe thứ ba \(20\text{ phút}\). Tính vận tốc của từng xe (giả định vận tốc mỗi xe là không đổi trong toàn bộ quãng đường).
Câu 7 (1,5 điểm): Hai bể cá hình tròn có tâm lần lượt là \(A\) (bán kính \(r_1 = 10\text{ m}\)) và \(B\) (bán kính \(r_2 = 20\text{ m}\)), với khoảng cách giữa hai tâm \(AB = 60\text{ m}\). Ở gần hai bể cá có một bờ kênh là đường thẳng \(d\) song song với \(AB\). Khoảng cách từ các tâm \(A, B\) đến bờ kênh \(d\) đều bằng \(40\text{ m}\). Người ta cần chọn một vị trí \(M\) trên bờ kênh \(d\) để lắp máy bơm nước đến 2 bể thông qua các đoạn thẳng nối \(MN\) và \(MP\) (với \(N, P\) thuộc mép các bể). Hỏi tổng độ dài 2 ống dẫn nước \(MN + MP\) nhỏ nhất bằng bao nhiêu (bỏ qua độ cao chênh lệch của các bể so với bờ kênh)?
Câu 8 (4,0 điểm): Cho hình vuông \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo, \(K\) là trung điểm của \(OB\). Đường tròn tâm \(D\) bán kính \(DA\) và đường tròn đường kính \(AB\) cắt nhau tại điểm \(E\) (với \(E \ne A\)). Tia \(EO\) cắt \(AD\) tại \(M\) và cắt đường tròn tâm \(D\) bán kính \(DA\) tại \(F\).
a) Chứng minh hai tam giác \(DEO\) và \(DBE\) đồng dạng, từ đó chứng minh điểm \(F\) thuộc đường tròn tâm \(D\) bán kính \(DA\).
b) Chứng minh \(OA \cdot AB = AK \cdot AE\) và tính tỷ số \(\frac{OE}{ME}\).