Tóm tắt đề thi: Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh môn Toán năm học 2025 - 2026 của Sở Giáo dục và Đào tạo Sơn La (ngày thi 22/03/2026). Thời gian làm bài 150 phút. Nội dung phần đầu đề thi bao gồm các dạng toán đại số về rút gọn biểu thức, tính giá trị đa thức, phương trình bậc hai chứa tham số, giải hệ phương trình, bài toán xác suất thực tế và bài toán tối ưu hình học ứng dụng.
Câu 1 (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức: \( P = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}}{x-1} \right) : \left( \frac{2}{x} + \frac{x-2}{x\sqrt{x}+x} \right) \) (với \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \)).
a) Rút gọn biểu thức \( P \), từ đó tìm giá trị của \( x \) sao cho \( P = 4 \).
b) Tính giá trị của biểu thức \( P \) khi \( x = \frac{2}{2-\sqrt{3}} \).
2) Cho đa thức \( P(x) = \sqrt{x^8 - 12x + 12} + 3x \). Gọi \( x_0 \) là một nghiệm của phương trình \( x^2 + x - 1 = 0 \). Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của \( P(x_0) \).
Câu 2 (3,0 điểm)
1) Cho phương trình \( x^2 - 3(m-1)x - 1 = 0 \) (với \( m \) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2 + 3(m-1)x_2 \le 9m^2 + 1 \).
2) Giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases} x^2 + 4y^2 = 5 \\ 4x^2y + 8xy^2 + 5x + 10y = 1 \end{cases} \]Câu 3 (2,0 điểm)
Một hộp đựng 40 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, trong đó có 24 bi đỏ, 12 bi xanh, số còn lại là bi vàng.
a) Huyền lấy ngẫu nhiên 1 viên bi rồi bỏ lại vào hộp. Tính xác suất để lấy được viên bi có màu vàng.
b) Huyền được mẹ cho thêm \( x \) viên bi xanh vào trong hộp, sau đó Huyền lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi có màu xanh là \( \frac{1}{3} \). Tìm \( x \).
Câu 4 (2,0 điểm)
1) Cổng một ngôi trường có dạng hình parabol cao \( 6\text{m} \), khoảng cách giữa hai chân cổng là \( 12\text{m} \). Nhà trường đang thiết kế để treo một màn hình LED hình chữ nhật nằm ngang có chiều rộng là \( 0{,}5\text{m} \), mép dưới cách mặt đất \( 4{,}5\text{m} \), hai đỉnh màn hình LED nằm trên đường parabol (Hình 1). Tính số tiền mà nhà trường cần dùng để làm màn hình LED trên, biết giá hoàn thiện màn hình LED là \( 10 \text{ triệu đồng/m}^2 \).
2) Một ô cửa được thiết kế hình ngũ giác có chu vi bằng \( 4\text{m} \), phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là một tam giác đều (Hình 2). Tìm chiều dài của cạnh tam giác để ô cửa nhận được nhiều ánh sáng nhất.