Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 cấp Thành phố Hà Nội năm học 2025 - 2026 gồm 5 bài toán lớn với thời gian làm bài 150 phút, tổng thang điểm 20:
- Bài I (5.0 điểm): Đại số - Giải phương trình chứa căn và biến đổi biểu thức đối xứng.
- Bài II (5.0 điểm): Ứng dụng toán học thực tế (quy hoạch tuyến tính/tối ưu hóa) và Số học về tính chia hết.
- Bài III (2.0 điểm): Bất đẳng thức - Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức ba biến.
- Bài IV (6.0 điểm): Hình học phẳng - Các bài toán liên quan đến tam giác nhọn, các đường cao, tứ giác nội tiếp, song song và góc bằng nhau.
- Bài V (2.0 điểm): Số học và Bài toán tổ hợp định lượng thực tế.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Bài I (5,0 điểm)
1) Giải phương trình: \(x + 4\sqrt{5 - x} = 9\).
2) Cho các số thực \(a, b, c\) đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện \((a^2 + 1)(b + c) = (b^2 + 1)(c + a) = -10\). Hãy tính giá trị của biểu thức \(P = (a + b)(b + c)(c + a)\).
Bài II (5,0 điểm)
1) Một xưởng sản xuất dự định làm hai dòng bánh ngọt cho một đơn hàng. Lượng đường nguyên liệu cần dùng cho mỗi chiếc bánh loại I và loại II lần lượt là \(40\text{g}\) và \(60\text{g}\). Tiệm thu được lợi nhuận tương ứng là \(12\) nghìn đồng và \(15\) nghìn đồng trên mỗi chiếc bánh loại I và loại II bán ra. Biết xưởng hiện còn \(14\text{kg}\) đường và bắt buộc phải sản xuất tối thiểu \(80\) bánh loại I cùng \(100\) bánh loại II. Hỏi tiệm cần lập kế hoạch sản xuất bao nhiêu chiếc bánh mỗi loại để đạt mức lợi nhuận lớn nhất?
2) Cho các số nguyên dương \(a, b, c\) đáp ứng hệ thức \(a^2 - 6b^2 = 1\) và \(a^2 + 4ab + 4b^2 = 11c + 1\). Chứng minh rằng số \(c\) chia hết cho \(40\).
Bài III (2,0 điểm)
Cho ba số thực không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[P = \frac{a(1 - b)}{3 - a} + \frac{b(1 - c)}{3 - b} + \frac{c(1 - a)}{3 - c}\]Bài IV (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\) (với \(AB < AC\)) có các đường cao \(AD, BE, CF\) đồng quy tại trực tâm \(H\).
1) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Chứng minh 4 điểm \(D, F, E, I\) cùng nằm trên một đường tròn.
2) Đường thẳng \(DF\) cắt đường thẳng \(BH\) tại \(K\). Lấy điểm \(L\) đối xứng với \(K\) qua \(H\). Gọi \(P\) là giao điểm của hai đường thẳng \(IE\) và \(CH\). Chứng minh rằng đường thẳng \(LP\) song song với đường thẳng \(HI\).
3) Đường thẳng đi qua \(B\) và vuông góc với \(AB\) cắt đường trung trực của đoạn thẳng \(BE\) tại điểm \(G\). Gọi \(Q\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(H\). Chứng minh rằng \(\widehat{EQL} = \widehat{EGC}\).
Bài V (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố \(p, q\) sao cho hai số \(pq + p + 4\) và \(pq + q + 4\) đồng thời là số chính phương.
2) Hai bạn An và Bình cùng thực hiện kế hoạch tiết kiệm tiền ủng hộ quỹ từ thiện trong cùng một khoảng thời gian. Cả hai bắt đầu vào cùng một ngày. Sau đúng 365 ngày, tổng số tiền mỗi bạn để dành được đều tròn 1 triệu đồng. Chứng minh rằng trong khoảng thời gian 365 ngày đó, luôn chọn ra được 183 ngày mà tổng số tiền tiết kiệm của mỗi bạn trong 183 ngày đó đều không dưới 500.000 đồng.