Tóm tắt đề thi: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 tỉnh Lai Châu năm học 2025-2026 bao gồm 5 câu hỏi tự luận với cấu trúc phân bổ điểm rõ ràng (tổng điểm 20 điểm):
- Câu 1 (4,0 điểm): Đại số cơ bản - Biến đổi, rút gọn biểu thức chứa căn và giải bất phương trình.
- Câu 2 (4,0 điểm): Phương trình - Tìm nghiệm nguyên của phương trình hai ẩn và giải phương trình vô tỷ.
- Câu 3 (5,0 điểm): Hàm số & Hệ phương trình - Tương giao Parabol và đường thẳng (Vi-ét), giải hệ phương trình phi tuyến.
- Câu 4 (5,0 điểm): Hình học phẳng - Tứ giác nội tiếp, đẳng thức hình học và bài toán cực trị hình học trên đường tròn.
- Câu 5 (2,0 điểm): Bất đẳng thức & Tổ hợp - Chứng minh bất đẳng thức đại số 3 biến và bài toán nguyên lý Dirichlet/đồ thị.
NỘI DUNG ĐỀ THI
Câu 1 (4,0 điểm)
Cho biểu thức \( P = \frac{\sqrt{x}-3}{2-\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}-2}{3+\sqrt{x}} - \frac{9-x}{x+\sqrt{x}-6} \)
a) Rút gọn \( P \).
b) Tìm tất cả các giá trị của \( x \) để \( P \ge 0 \).
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: \( x^2 + 2y^2 + 3xy - x - y + 3 = 0 \)
b) Giải phương trình: \( \sqrt{4x^2+5x+1} - 2\sqrt{x^2-x+1} = 9x - 3 \)
Câu 3 (5,0 điểm)
a) Cho parabol \( (P): y = x^2 \) và đường thẳng \( (d): y = 2(m+4)x - m^2 - 8m + 9 \) (với \( m \) là tham số). Tìm số nguyên dương \( m \) để \( (P) \) và \( (d) \) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \( x_1, x_2 \) sao cho biểu thức \( P = \frac{x_1^2 + x_2^2 - 60}{x_1 + x_2} \) đạt giá trị nguyên.
b) Giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 8 \\ 2x^2 - xy + y^2 + 3x + 1 = 2y(x+1) \end{cases} \]Câu 4 (5,0 điểm)
Cho đường tròn \( (O) \), có dây \( AB \) cố định và không đi qua tâm. Trên cung nhỏ \( AB \) lấy điểm \( M \) (\( M \) không trùng với \( A, B \) và \( MA > MB \)). Kẻ dây \( MN \) vuông góc với \( AB \) tại \( H \). Kẻ \( MK \) vuông góc với \( AN \) (\( K \in AN \)). Gọi \( E \) là giao điểm của \( HK \) và \( BN \).
a) Chứng minh \( MHKA \) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \( AM \cdot NE \cdot MB = AN \cdot MH \cdot NM \).
c) Nếu không xét đến điều kiện \( MA > MB \) và cho \( M \) di chuyển trên cung nhỏ \( BC \). Hãy xác định vị trí của điểm \( M \) để \( MK \cdot AN + ME \cdot NB \) có giá trị lớn nhất.
Câu 5 (2,0 điểm)
a) Cho \( a, b, c \) là các số thực dương thỏa mãn: \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le 2 \). Chứng minh rằng:
\[ \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}} + \frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}} + \frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}} \le \frac{2}{3} \]b) Một hội nghị học sinh giỏi có 100 học sinh tham dự, mỗi người đều quen ít nhất 50 người khác. Chứng minh rằng có thể chọn được 4 học sinh xếp ngồi quanh 1 bàn tròn sao cho bất cứ 2 người nào ngồi cạnh nhau cũng quen nhau.