Đề kiểm tra giữa học kỳ I môn Toán lớp 9 năm học 2026 – 2027 của trường THCS Lê Quý Đôn (UBND phường Dương Nội). Đề thi kết hợp đầy đủ các chuyên đề trọng tâm: giải phương trình quy về bậc nhất, bất phương trình, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, bài toán thực tế tỉ số lượng giác, hình học tổng hợp và bài toán tối ưu thực tế.
ĐỀ BÀI
Bài I (2,5 điểm). Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) \((3x+6)(x-5)=0\)
b) \[\frac{x}{x+3}-\frac{2}{x-3}=\frac{x^2-11}{x^2-9}\]
c) \(2(x-3) < 4(x-2)+8\)
Bài II (1,5 điểm). Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\begin{cases} 3x+2y=10 \\ 3x-y=4 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} 3(x+y)-2(y+2)=-4 \\ 2(x-y)+y=5 \end{cases}\)
Bài III (1,5 điểm).
Hai người công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 24 ngày. Nếu người thứ nhất làm trong 16 ngày, và người thứ hai làm trong 21 ngày thì cả hai người hoàn thành được 75% công việc. Hỏi nếu làm một mình xong công việc đó thì mỗi người phải làm trong bao lâu?
Bài IV (4,0 điểm).
1) Một chiếc máy bay cất cánh từ sân bay, sau khi bay được \(AB = 640\text{ m}\), máy bay đạt độ cao \(AC = 250\text{ m}\).
a) Tính góc nâng khi máy bay cất cánh (Kết quả làm tròn đến độ).
b) Biết vận tốc của máy bay là \(350\text{ km/h}\). Hỏi sau bao nhiêu phút thì máy bay đạt đến độ cao \(AC = 6000\text{ m}\) so với mặt đất? Biết góc nâng khi máy bay cất cánh không đổi (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
2) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\)) có đường cao \(AH\).
a) Cho \(AB = 3\text{ cm}\), \(BC = 6\text{ cm}\). Tính số đo \(\widehat{ACB}\) và độ dài các cạnh \(AC\) và \(AH\).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Kẻ \(AK\) vuông góc với \(BM\). Chứng minh: \(MK \cdot MB = AM^2\) và \(MK = MB \cdot \cos^2 \widehat{AMK}\).
c) Từ \(M\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(E\). Tia \(AK\) cắt tia \(ME\) tại \(I\). Chứng minh rằng \(MH \perp HI\).
Bài V (0,5 điểm).
Một phòng chiếu phim có 10 hàng ghế, mỗi hàng có 12 ghế ngồi, quản lí rạp tính rằng, trong khung giờ cao điểm nếu mỗi vé xem phim có giá 80000 đồng thì mỗi bộ phim chiếu đều kín các ghế. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá vé thêm 10000 đồng thì mỗi bộ phim chiếu sẽ có thêm 5 ghế trống. Hỏi người quản lí rạp cần quyết định giá mỗi vé trong khung giờ cao điểm là bao nhiêu để thu nhập trong mỗi bộ phim chiếu lớn nhất?
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO
Bài I.
a) \((3x+6)(x-5)=0\)
Suy ra \(3x+6=0\) hoặc \(x-5=0\), tức là \(x=-2\) hoặc \(x=5\).
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x=-2\), \(x=5\).
b) ĐKXĐ: \(x \neq 3\) và \(x \neq -3\).
\[\frac{x}{x+3}-\frac{2}{x-3}=\frac{x^2-11}{x^2-9}\]
\[\frac{x(x-3)-2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{x^2-11}{(x+3)(x-3)}\]
\[x^2-3x-2x-6=x^2-11\]
\[-5x = -5\]
\[x = 1\text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)}.\]
Vậy phương trình có nghiệm \(x=1\).
c) \(2(x-3) < 4(x-2)+8\)
\(2x-6 < 4x\)
\(-2x < 6\)
\(x > -3\).
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x > -3\).
Bài II.
a) \(\begin{cases} 3x+2y=10 \\ 3x-y=4 \end{cases}\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được \(3y = 6\), suy ra \(y = 2\).
Thay \(y = 2\) vào phương trình \(3x-y=4\), ta được \(3x = 6\), suy ra \(x = 2\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x; y) = (2; 2)\).
b) \(\begin{cases} 3(x+y)-2(y+2)=-4 \\ 2(x-y)+y=5 \end{cases}\)
\[\begin{cases} 3x+3y-2y-4=-4 \\ 2x-2y+y=5 \end{cases}\]