Khảo sát chọn đội dự tuyển học sinh giỏi lớp 9 môn Toán năm học 2026 - 2027
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề). Đề thi bao gồm các chủ đề: rút gọn biểu thức chứa căn, đa thức, hệ phương trình, xác suất tổ hợp, phương trình nghiệm nguyên, toán chuyển động thực tế, bài toán hình học ứng dụng thực tế, hình học phẳng đường tròn và bài toán suy luận logic.
NỘI DUNG ĐỀ THI
Câu 1: (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:
\[ M = \left( \frac{x + \sqrt{x}}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 1} + \frac{1}{x+1} \right) : \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - x + \sqrt{x} - 1} \right) \]với \( x \ge 0 \) và \( x \ne 1 \).
Câu 2: (2,0 điểm) Cho đa thức \( P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d \). Biết rằng:
\[ P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 1 \]Tính giá trị của \( P(5) \).
Câu 3: (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases} (4x^2 - 4xy + 4y^2 - 31)(x - y)^2 + 3 = 0 \\ (2x - 7)(x - y) + 1 = 0 \end{cases} \]Câu 4: (2,0 điểm) Gọi \( X \) là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt được lập từ các chữ số \( 0; 1; 2; 3; 4; 5 \). Chọn ngẫu nhiên một số từ \( X \). Tính xác suất để có thể chọn được một số không chia hết cho 3.
Câu 5: (2,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên \( (x; y) \) thỏa mãn phương trình:
\[ (x + y)(2x + 3y)^2 + 2x + y + 2 = 0 \]Câu 6: (1,5 điểm) Một người đi xe đạp từ \( A \) đến \( B \), cách nhau 15 km, khởi hành lúc 8 giờ sáng. Đi được \( \frac{1}{3} \) quãng đường \( AB \) thì xe bị hỏng, người đó phải dừng lại sửa mất 30 phút rồi đi nốt quãng đường còn lại với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đầu 5 km/h. Đến \( B \), người đó nghỉ 20 phút rồi quay về \( A \) với vận tốc bằng một nửa vận tốc trên \( \frac{1}{3} \) quãng đường đầu tiên. Biết người đó về tới \( A \) lúc 11 giờ 15 phút sáng cùng ngày. Hỏi xe bị hỏng lúc mấy giờ?
Câu 7: (1,5 điểm) Một cái sân hình chữ nhật \( ABCD \) có kích thước \( AB = 16\text{ m} \), \( AD = 12\text{ m} \). Một camera an ninh được lắp ở trung điểm \( M \) của cạnh \( AB \). Biết rằng góc nhìn của camera là \( 90^\circ \). Hãy tính diện tích sân mà camera có thể quan sát được khi camera bắt đầu quét tới trung điểm \( N \) của cạnh \( AD \) (như hình vẽ trong đề). Làm tròn kết quả đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy.
Câu 8: (4,0 điểm) Từ điểm \( M \) nằm bên ngoài đường tròn \( (O) \), kẻ các tiếp tuyến \( MA, MB \) tới đường tròn với \( A, B \) là các tiếp điểm. Tia \( Mx \) nằm giữa hai tia \( MA \) và \( MO \) cắt đường tròn \( (O) \) lần lượt tại \( C \) và \( D \) (\( C \) nằm giữa \( M \) và \( D \)). Gọi \( K \) là trung điểm của \( CD \), tia \( OK \) cắt đường thẳng \( AB \) tại \( N \). Gọi \( I \) là giao điểm của \( AB \) và \( CD \), \( H \) là giao điểm của \( AB \) và \( OM \).
1) Chứng minh \( NC \) là tiếp tuyến của \( (O) \).
2) Chứng minh:
\[ \frac{IA}{IB} = \left( \frac{AC}{BC} \right)^2 \]Câu 9: (1,5 điểm) Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) có bán kính lần lượt là \( R \) và \( r \). Biết rằng \( \widehat{BAC} - \widehat{ACB} = \widehat{ABC} - \widehat{BAC} \). Tính diện tích tam giác \( ABC \) theo \( R \) và \( r \).
Câu 10: (1,5 điểm) Ở một trường THCS có bốn lớp 9A, 9B, 9C, 9D và bốn thầy giáo dạy Toán: thầy An, thầy Bình, thầy Chí, thầy Dũng. Mỗi lớp được phân công cho đúng một thầy dạy và mỗi thầy dạy đúng một lớp. Việc phân công thỏa mãn các điều kiện sau:
- Thầy An không dạy lớp 9A và cũng không dạy lớp 9D.
- Lớp 9B do một trong hai thầy: thầy Bình hoặc thầy Chí dạy.
- Lớp 9C không do thầy Bình dạy.
- Lớp mà thầy Chí dạy đứng ngay sau lớp mà thầy Dũng dạy trong thứ tự các lớp 9A, 9B, 9C, 9D.
- Lớp thầy An dạy đứng trước lớp thầy Bình dạy trong thứ tự các lớp 9A, 9B, 9C, 9D.
Hỏi mỗi thầy dạy lớp nào?