Tóm lược nội dung: Trước khi tiếp cận khái niệm lý thuyết về nguyên lý bất biến, hãy cùng khảo sát ba bài toán suy luận logic quen thuộc: lật cốc, di chuyển sỏi và lát bàn cờ khuyết. Điểm cốt lõi kết nối ba bài toán này chính là việc phát hiện ra một tính chất hoặc đại lượng không thay đổi qua từng bước biến đổi trạng thái.
Tình huống 1: Bài toán bảy chiếc cốc
Trên mặt bàn có 7 chiếc cốc, ban đầu tất cả đều đang ở trạng thái úp. Trong mỗi lượt thao tác, ta được phép lật đúng 4 chiếc cốc bất kỳ (từ úp thành ngửa, hoặc từ ngửa thành úp). Liệu sau một số lần thao tác, ta có thể khiến cả 7 chiếc cốc đều ở trạng thái ngửa hay không?
Thử nghiệm thực tế: Ban đầu có 0 cốc ngửa. Nếu lật 4 chiếc úp thì có 4 cốc ngửa. Tiếp theo, nếu lật 3 cốc ngửa và 1 cốc úp thì số cốc ngửa thành 2. Nếu lật 2 ngửa và 2 úp thì vẫn còn 4 cốc ngửa... Số cốc ngửa chỉ chuyển dịch qua lại giữa các giá trị chẵn là 0, 2, 4, 6 mà không bao giờ đạt được giá trị lẻ.
Giải thích tổng quát: Giả sử tại một thời điểm bất kỳ, số cốc ngửa hiện có là \(N\). Trong 4 chiếc cốc được chọn để lật, giả sử có \(k\) chiếc đang ngửa (với \(0 \le k \le 4\)).
Sau khi lật, \(k\) chiếc ngửa sẽ chuyển thành úp và \(4 - k\) chiếc úp sẽ chuyển thành ngửa. Khi đó, số cốc ngửa mới là:
\[N' = N - k + (4 - k) = N + 4 - 2k\]Vì \(4 - 2k\) luôn là một số nguyên chẵn nên \(N'\) và \(N\) luôn có cùng tính chẵn lẻ. Do ban đầu \(N = 0\) (là số chẵn), nên qua mọi lần biến đổi, số cốc ngửa \(N\) bắt buộc luôn luôn là số chẵn. Do đó, \(N\) không thể bằng 7 (số lẻ). Kết luận: Không thể làm cho cả 7 chiếc cốc đều ngửa.
Mở rộng: Nếu mỗi lần cho phép lật đúng 3 chiếc thì sao? Khi đó số cốc ngửa thay đổi thành:
\[N' = N + 3 - 2k\]Do \(3 - 2k\) luôn là số lẻ, tính chẵn lẻ của \(N\) sẽ đảo chiều sau mỗi lượt biến đổi. Đánh số các cốc từ 1 đến 7 và thực hiện lật tuần tự 3 bộ: \(\{7, 1, 2\}\), \(\{7, 3, 4\}\), \(\{7, 5, 6\}\). Lúc này cốc số 7 bị lật 3 lần, các cốc còn lại mỗi chiếc bị lật 1 lần; kết quả là toàn bộ 7 chiếc cốc đều ngửa thành công.
Tình huống 2: Bài toán ba đống sỏi
Cho ba đống sỏi với số lượng viên sỏi ban đầu lần lượt là 19, 8 và 9 viên. Ở mỗi lượt, ta chọn ra hai đống bất kỳ, nhặt từ mỗi đống ra một viên sỏi rồi bỏ cả hai viên đó vào đống thứ ba còn lại. Liệu có khi nào cả ba đống đều có số lượng bằng nhau và cùng bằng 12 viên hay không?
Thử nghiệm modulo 3: Quan sát số dư của số sỏi trong từng đống khi chia cho 3:
| Bước thực hiện | Trạng thái sỏi \((a, b, c)\) | Bộ số dư khi chia cho 3 |
|---|---|---|
| 0 | \((19, 8, 9)\) | \((1, 2, 0)\) |
| 1 | \((18, 7, 11)\) | \((0, 1, 2)\) |
| 2 | \((20, 6, 10)\) | \((2, 0, 1)\) |
| 3 | \((19, 5, 12)\) | \((1, 2, 0)\) |
Giải thích: Phép biến đổi chuyển trạng thái có dạng:
\[(a, b, c) \mapsto (a - 1, b - 1, c + 2)\]Xét theo modulo 3, vì \(+2 \equiv -1 \pmod{3}\) nên cả ba số đều cùng giảm đi 1 đơn vị theo modulo 3 (hay nói cách khác, các số dư đều lùi một nấc trên vòng tròn mod 3).
Vì vậy, hiệu số giữa hai đống bất kỳ theo modulo 3 luôn luôn không đổi. Do đó, ba số dư modulo 3 của ba đống sỏi luôn đôi một khác nhau, tức là luôn là một hoán vị của bộ \((0, 1, 2)\).
Mặt khác, trạng thái mục tiêu \((12, 12, 12)\) có số dư khi chia cho 3 lần lượt là \((0, 0, 0)\) (ba số dư bằng nhau). Điều này mâu thuẫn với tính bất biến ở trên. Kết luận: Không thể đưa cả ba đống về cùng 12 viên sỏi.
Tình huống 3: Bàn cờ cụt và bài toán phủ domino
Cho một bàn cờ kích thước \(8 \times 8\). Người ta cắt bỏ đi hai ô vuông nằm ở hai góc đối diện của bàn cờ. Liệu có thể dùng 31 quân cờ domino kích thước \(1 \times 2\) để phủ kín 62 ô vuông còn lại hay không (biết rằng mỗi quân domino phủ trọn vẹn hai ô vuông kề cạnh nhau và các quân không được xếp chồng lên nhau)?
Giải thích:
Tô màu bàn cờ theo chuẩn bàn cờ vua gồm các ô trắng (sáng) và đen (tối) xen kẽ nhau. Một bàn cờ chuẩn \(8 \times 8\) gồm có 32 ô sáng và 32 ô tối.
Hai ô vuông nằm ở hai góc đối diện nhau trên bàn cờ luôn luôn cùng màu. Do đó, sau khi cắt bỏ 2 ô này, số ô còn lại trên bàn cờ bao gồm 32 ô thuộc một màu và 30 ô thuộc màu còn lại.
Mỗi quân domino kích thước \(1 \times 2\) khi đặt trên bàn cờ luôn luôn phủ đúng 1 ô sáng và 1 ô tối. Do đó, nếu sử dụng 31 quân domino thì chúng bắt buộc phải phủ kín đúng:
\[31 \text{ ô sáng} + 31 \text{ ô tối}\]Điều này mâu thuẫn trực tiếp với số lượng thực tế hiện có (32 ô màu này và 30 ô màu kia). Kết luận: Không thể phủ kín 62 ô còn lại của bàn cờ cụt bằng 31 quân domino.