Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia THPT năm học 2026 - 2027 - Sở GD&ĐT Đà Nẵng (Ngày 2)
Câu 5 (6,0 điểm).
Cho đường tròn \((O)\) cố định và điểm \(I\) cố định nằm trong đường tròn đó (\(I\) khác \(O\)). Một đường thẳng \(d\) thay đổi đi qua \(I\) nhưng không qua \(O\) và cắt \((O)\) tại \(A, B\) sao cho \(I\) không trùng với trung điểm \(H\) của đoạn thẳng \(AB\). Các tiếp tuyến tại \(O\) của đường tròn \((OAH)\) và đường tròn \((OBH)\) cắt đường trung trực của đoạn thẳng \(OI\) lần lượt tại \(O_1\) và \(O_2\). Đường tròn \((O_1; O_1O)\) cắt đường tròn \((OAH)\) tại \(C\) (khác \(O\)) và đường tròn \((O_2; O_2O)\) cắt đường tròn \((OBH)\) tại \(D\) (khác \(O\)). Chứng minh đường tròn \((OCD)\) đi qua một điểm cố định khác \(O\) khi \(d\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(I\).
Câu 6 (7,0 điểm).
Gọi \(A\) là tập hợp gồm \(2026\) số nguyên dương đầu tiên. Nếu hoán vị \((a_1, a_2, \dots, a_{2026})\) của các phần tử thuộc \(A\) thỏa mãn \(a_i > a_{i+1}\) với \(i \in \{1; 2; \dots; 2025\}\) thì \(a_i\) được gọi là điểm giảm của hoán vị đó.
a) Có bao nhiêu hoán vị \((a_1, a_2, \dots, a_{2026})\) của các phần tử thuộc \(A\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) \((a_1, a_2, \dots, a_{2026})\) có duy nhất một điểm giảm là \(a_i = 2026\);
(ii) Điểm giảm \(a_i\) chia hoán vị thành hai phần \(a_1, a_2, \dots, a_{i-1}\) và \(a_{i+1}, a_{i+2}, \dots, a_{2026}\), trong đó tập hợp \(X = \{a_{i+1}; \dots; a_{2026}\}\) chứa ít nhất một số chẵn và ít nhất một số lẻ?
b) Có bao nhiêu hoán vị \((a_1, a_2, \dots, a_{2026})\) của các phần tử thuộc \(A\) có duy nhất một điểm giảm?
Câu 7 (7,0 điểm).
Cho \(c_1, c_2, \dots, c_k\) là các số nguyên dương và \(P(x)\) là đa thức khác hằng có hệ số nguyên.
a) Chứng minh tập hợp các số nguyên tố là ước của ít nhất một giá trị của đa thức \(P(x)\) tại các số nguyên là một tập hợp vô hạn.
b) Chứng minh tồn tại một tập hợp vô hạn \(S\) gồm các số nguyên tố sao cho với mọi \(p\) thuộc \(S\), số \(c_1^n + c_2^n + \dots + c_k^n + P(n)\) chia hết cho \(p\) với vô số số nguyên dương \(n\).