ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2026 - 2027
Bài 1 (4,0 điểm):
1. Rút gọn biểu thức: \( P = \left( \frac{x}{x-3} + \frac{3x+1}{9-x^2} + \frac{x+2}{x+3} \right) \cdot \frac{x^2-6x+9}{x+5} \)
2. Giải phương trình: \( (x^2+16x+63)(x^2-12x+35) = 2304 \)
Bài 2 (6,0 điểm):
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \( (x; y) \) thỏa mãn \( (2x+5y+1)\left(2^{|x-1|} + y + x^2 + x\right) = 65 \)
2. Cho đa thức: \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) (với \( a, b, c \in \mathbb{R} \)). Biết đa thức \( f(x) \) chia cho đa thức \( x+1 \) dư 2 và chia cho đa thức \( x-2 \) dư 11. Tính giá trị của biểu thức: \( Q = \left(2025a + 2023b + c - 4\right)^{2026} + 1 \)
3. Cho \( a, b, c, d \) là các số nguyên thỏa mãn: \( 5(a^2 + b^2) = 13(c^2 + d^2) \). Chứng minh rằng: \( a + b + c + d \) chia hết cho 6.
Bài 3 (3,0 điểm):
1. Tìm số tự nhiên \( n \) sao cho biểu thức \( A = 4(n^2 - n + 6) \) có giá trị là số chính phương.
2. Cho \( a, b, c \) là các số thực thỏa mãn \( abc = 1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[ S = \frac{1}{(a+1)^2 + b^2 + 1} + \frac{1}{(b+1)^2 + c^2 + 1} + \frac{1}{(c+1)^2 + a^2 + 1} \]
Bài 4 (6,0 điểm):
Cho tam giác nhọn \( ABC \). Các đường cao \( AD, BE, CF \) cắt nhau tại \( H \).
a) Chứng minh rằng: Tam giác \( AEF \) đồng dạng với tam giác \( ABC \).
b) Gọi \( M \) là giao điểm của hai đường thẳng \( EF \) và \( BC \). Chứng minh: \( FC \) là tia phân giác của \( \widehat{DFE} \) và \( CM \cdot BD = BM \cdot CD \).
c) Gọi \( I, K, Q, R \) lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ \( E \) xuống \( AB, AD, CF, BC \). Chứng minh rằng: Bốn điểm \( I, K, Q, R \) thẳng hàng.
Bài 5 (1,0 điểm):
Cho 244 điểm phân biệt (trong đó không có ba điểm bất kì nào thẳng hàng) nằm trong tam giác đều có diện tích bằng 6. Chứng minh rằng: tồn tại ít nhất một tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm trong 244 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn \( \frac{2}{27} \).