Tóm tắt: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán tỉnh Đắk Lắk năm học 2026–2027 (Ngày thi thứ hai: 23/09/2026). Thời gian làm bài 180 phút, gồm 4 câu hỏi tự luận bao quát các chuyên đề Toán THPT nâng cao: Dãy số, Đa thức, Phương trình số học Diophante và Hình học phẳng.
Kỳ thi chọn ĐTQG tỉnh Đắk Lắk 2026-2027 - Ngày thi thứ hai
Câu 1 (5,0 điểm). Cho dãy số \((x_n)\) xác định bởi:
\[\begin{cases} x_1 = \dfrac{9}{8} \\ 3(n+3)^2 x_n = 3n^2 x_{n+1} - (2n+3)x_{n+1}x_n, \quad \forall n \ge 1 \end{cases}\]
Tìm \(\lim x_n\).
\[\begin{cases} x_1 = \dfrac{9}{8} \\ 3(n+3)^2 x_n = 3n^2 x_{n+1} - (2n+3)x_{n+1}x_n, \quad \forall n \ge 1 \end{cases}\]
Tìm \(\lim x_n\).
Câu 2 (5,0 điểm). Cho \(P(x)\) là đa thức bậc \(n\) (với \(n \in \mathbb{N}^*\)) có hệ số cao nhất bằng \(1\) và có đúng \(n\) nghiệm thực phân biệt. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực \(a\) mà:
\[P(4a^2 + 4a + 2026) = 0\]
Chứng minh đa thức \(P(4x^2 + 4x + 2026)\) chia hết cho đa thức \((2x + 1)^2\) và \(P(2026) \ge 1\).
\[P(4a^2 + 4a + 2026) = 0\]
Chứng minh đa thức \(P(4x^2 + 4x + 2026)\) chia hết cho đa thức \((2x + 1)^2\) và \(P(2026) \ge 1\).
Câu 3 (5,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương \(a, b, c, p\) sao cho \(p\) và \(p + 2\) đều là các số nguyên tố lẻ thỏa mãn:
\[2^a p^b = (p + 2)^c - 1.\]
\[2^a p^b = (p + 2)^c - 1.\]
Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC\)) nhọn và nội tiếp đường tròn \((O)\) có tâm \(O\), bán kính \(R\). Đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại trung điểm \(M\) của \(BC\) cắt các đường thẳng \(AB, AC\) lần lượt tại \(Y\) và \(X\).
a) Gọi \(I, r'\) lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đường kính \(XY\). Chứng minh rằng \(OI^2 = R^2 + r'^2\).
b) Tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \((O)\) cắt đường thẳng \(OM\) tại \(P\). Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(AO\) cắt đường thẳng qua \(P\) song song với \(BC\) tại \(Z\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(H, M, Z\) thẳng hàng.
a) Gọi \(I, r'\) lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đường kính \(XY\). Chứng minh rằng \(OI^2 = R^2 + r'^2\).
b) Tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \((O)\) cắt đường thẳng \(OM\) tại \(P\). Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(AO\) cắt đường thẳng qua \(P\) song song với \(BC\) tại \(Z\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(H, M, Z\) thẳng hàng.