Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 TP. Hồ Chí Minh năm học 2025 - 2026 (Thời gian làm bài 120 phút) gồm các dạng toán chính:
- Bài toán 1: Ứng dụng dãy số - Cấp số nhân trong mô hình y học (tính lượng thuốc tồn dư và ngưỡng ngộ độc) và bài toán cấu trúc bảng lương công ty.
- Bài toán 2: Khảo sát điểm cực trị của hàm số ghép 3 nhánh và chứng minh bất đẳng thức liên quan đến các nghiệm có cùng giá trị hàm số.
- Bài toán 3: Ứng dụng tích phân và diện tích hình phẳng trong thiết kế biểu trưng logo giới hạn bởi các đường cong bậc bốn ghép nối.
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2025 - 2026
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (4,0 điểm).
1. Một bệnh nhân được tiêm thuốc đặc trị định kỳ mỗi \(24\text{ giờ}\) một liều \(200\text{ mg}\). Sau mỗi \(24\text{ giờ}\), lượng thuốc còn lại bằng \(60\%\) lượng thuốc có trong cơ thể sau lần tiêm trước đó.
a) Tính lượng thuốc trong cơ thể của bệnh nhân này ngay sau khi tiêm liều thứ \(5\).
b) Biết ngưỡng ngộ độc thuốc là \(500\text{ mg}\). Hỏi nếu điều trị hàng ngày theo phương án này thì bệnh nhân có thời điểm nào bị ngộ độc hay không?
2. Một công ty có \(3\) chi nhánh và tại mỗi chi nhánh có \(10\) bậc lương cho nhân viên. Lương của nhân viên được thể hiện trong bảng dưới đây, biết rằng trong mỗi hàng, các số tạo thành một cấp số cộng (theo thứ tự từ trái sang phải), và trong mỗi cột, các số tạo thành một cấp số nhân (theo thứ tự từ trên xuống dưới). Chứng minh rằng công bội của tất cả các cấp số nhân này đều bằng nhau.
| Bậc lương | Chi nhánh | ||
|---|---|---|---|
| BẮC | TRUNG | NAM | |
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| ... | |||
| 10 | |||
Câu 2 (4,0 điểm).
Cho hàm số \(f(x)\) xác định bởi:
\[f(x) = \begin{cases} x(x+3)^2 + 1 & \text{khi } -4 \le x \le 0 \\ \dfrac{x+7}{x+3} & \text{khi } x < -4 \\ 2^x - x & \text{khi } x > 0 \end{cases}\]a) Hỏi hàm số này có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
b) Giả sử có \(6\) số thực \(a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6\) sao cho:
\[f(a_1) = f(a_2) = f(a_3) = f(a_4) = f(a_5) = f(a_6).\]Chứng minh rằng \(a_6 - a_5 < 1\).
Câu 3 (4,0 điểm).
Một công ty thiết kế logo dựa trên một hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi các trục tọa độ, đường thẳng \(x = k\) và đường cong \((C)\) như hình vẽ. Đường cong \((C)\) gồm hai đường cong: \((C_1)\) là một phần đồ thị của hàm số \(f(x) = ax^4, \, 0 \le x \le 2\) và \((C_2)\) là một phần đồ thị của hàm số \(g(x) = b(x-k)^4 + c, \, 2 \le x \le k\).