TÓM TẮT NỘI DUNG ĐỀ THI (TRANG 1)
Đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2025 - 2026 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ngãi tổ chức (Thời gian làm bài: 180 phút). Nội dung ở trang 1 tập trung kiểm tra các chủ đề: khảo sát hàm số và tính diện tích tam giác cực trị, bài toán thực tế tối ưu thời gian di chuyển hỗn hợp, mô hình hàm số mũ tính cường độ ánh sáng dưới nước, bài toán quy hoạch tuyến tính tối ưu doanh thu bán thiệp Tết và bài toán cấp số nhân.
NỘI DUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 SỞ GD&ĐT QUẢNG NGÃI
Câu 1 (5,0 điểm).
1.1. Cho hàm số \(y = \frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(E(4; 1)\). Gọi \(A, B\) là hai điểm cực trị của đồ thị \((C)\). Tính diện tích tam giác \(EAB\).
1.2. Một khu đất trống bằng phẳng hình chữ nhật \(ABCD\), bên cạnh là một hồ nước có dạng nửa hình tròn đường kính \(AD\). Từ vị trí \(A\), anh Nghĩa chạy bộ theo đường gấp khúc \(AEFD\) (trong đó \(E, F\) là hai vị trí bất kì trên đoạn \(BC\)). Vận tốc chạy bộ của anh Nghĩa trên các đoạn \(AE\) và \(FD\) là \(6\text{ km/h}\), trên đoạn \(EF\) là \(10\text{ km/h}\). Sau đó, từ vị trí \(D\), anh Nghĩa chèo thuyền với vận tốc \(5\text{ km/h}\) đến vị trí \(G\) trên bờ hồ rồi tiếp tục chạy bộ theo bờ hồ với vận tốc \(7\text{ km/h}\) để quay về vị trí \(A\). Hỏi thời gian ngắn nhất mà anh Nghĩa di chuyển từ \(A\) theo cách trên rồi quay lại \(A\) là bao nhiêu giờ? Biết \(AB = 0,5\text{ km}\), \(AD = 1\text{ km}\) và \(DG = 0,5\text{ km}\).
Câu 2 (4,0 điểm).
2.1. Giả sử cường độ ánh sáng \(I\) dưới mặt nước biển giảm dần theo độ sâu theo công thức \(I = I_0 \cdot a^d\), trong đó \(I_0\) là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, \(a\) là một hằng số dương, \(d\) là độ sâu tính từ mặt nước biển (đơn vị mét). Ở một vùng biển, cường độ ánh sáng tại độ sâu \(1\text{ m}\) bằng \(95\%\) cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Tính tỷ lệ giữa cường độ ánh sáng tại độ sâu \(20\text{ m}\) so với cường độ ánh sáng tại độ sâu \(10\text{ m}\) ở vùng biển đó.
2.2. Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ Tết, cần \(2\) giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá \(10\) nghìn đồng và \(3\) giờ để vẽ một tấm thiệp loại lớn có giá \(20\) nghìn đồng. Học sinh này chỉ có tối đa \(30\) giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất \(12\) tấm thiệp. Hỏi bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất?
Câu 3 (2,0 điểm).
Ba bạn Trung Kiên, Thái Sơn và Đình Bắc tham gia một trò chơi với phần thưởng là những viên kẹo. Sau khi trò chơi kết thúc, số kẹo được thưởng của Trung Kiên, Thái Sơn và Đình Bắc theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội là một số nguyên dương lẻ...